Страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Используя геометрические соображения, вычислите интеграл:

21.37. a) $\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx;$

б) $\int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{4 - x^2} dx;$

в) $\int_{-5}^{0} \sqrt{25 - x^2} dx;$

г) $\int_{-4}^{4} \sqrt{64 - x^2} dx.$

Заданные интегралы можно вычислить, интерпретируя их как площадь под кривой. Подынтегральная функция вида $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ является уравнением верхней полуокружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R$. Определенный интеграл $\int_a^b \sqrt{R^2 - x^2} \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной этой полуокружностью, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

а) $\int_0^4 \sqrt{16 - x^2} dx$

Подынтегральная функция $y = \sqrt{16 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=4$. Это означает, что нам нужно найти площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти. Эта фигура представляет собой четверть круга радиусом 4.

Площадь всего круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. В нашем случае $S_{круга} = \pi (4^2) = 16\pi$.

Площадь четверти круга равна: $S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

б) $\int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{4 - x^2} dx$

Подынтегральная функция $y = \sqrt{4 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=\sqrt{2}$. Искомая площадь ограничена осями координат, прямой $x=\sqrt{2}$ и дугой окружности.

Эту фигуру можно разбить на две части: треугольник и сектор круга. Найдем точку на окружности при $x=\sqrt{2}$: $y = \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$. Точка имеет координаты $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Разобьем искомую площадь на:
1. Площадь прямоугольного треугольника с вершинами в $(0,0)$, $(\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Его площадь равна $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 1$.
2. Площадь сектора круга, ограниченного радиусами, проведенными к точкам $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(0, 2)$ (точка пересечения с осью $Oy$). Угол, который образует радиус-вектор точки $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ с осью $Ox$, равен $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$. Угол сектора, соответственно, равен $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{1}{2} R^2 \theta$. $S_{сект} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Суммарная площадь равна сумме площадей треугольника и сектора: $S = S_{треуг} + S_{сект} = 1 + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 1$.

в) $\int_{-5}^0 \sqrt{25 - x^2} dx$

Подынтегральная функция $y = \sqrt{25 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Пределы интегрирования от $x=-5$ до $x=0$. Это означает, что нам нужно найти площадь фигуры, расположенной во второй координатной четверти. Эта фигура представляет собой четверть круга радиусом 5.

Площадь всего круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (5^2) = 25\pi$.

Площадь четверти круга равна: $S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \cdot 25\pi = \frac{25\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{25\pi}{4}$.

г) $\int_{-4}^4 \sqrt{64 - x^2} dx$

Подынтегральная функция $y = \sqrt{64 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{64} = 8$. Пределы интегрирования от $x=-4$ до $x=4$. Так как функция $y(x)$ является четной, а промежуток интегрирования симметричен относительно нуля, искомая площадь равна удвоенной площади фигуры под кривой от $x=0$ до $x=4$.

$S = 2 \int_0^4 \sqrt{64 - x^2} dx$.

Вычислим площадь от $x=0$ до $x=4$. Найдем точку на окружности при $x=4$: $y = \sqrt{64 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Точка $P$ имеет координаты $(4, 4\sqrt{3})$.
Как и в пункте б), разобьем площадь на треугольник и сектор.
1. Площадь прямоугольного треугольника с вершинами в $(0,0)$, $(4, 0)$ и $(4, 4\sqrt{3})$: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
2. Площадь сектора круга. Угол, который образует радиус-вектор точки $P(4, 4\sqrt{3})$ с осью $Ox$, равен $\alpha = \arccos\left(\frac{4}{8}\right) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Угол сектора, примыкающего к оси $Oy$, равен $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$.
Площадь сектора: $S_{сект} = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{32\pi}{6} = \frac{16\pi}{3}$.

Площадь от 0 до 4 равна $S_{0 \to 4} = S_{треуг} + S_{сект} = 8\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3}$.
Полная площадь от -4 до 4: $S = 2 \cdot S_{0 \to 4} = 2 \left( 8\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3} \right) = 16\sqrt{3} + \frac{32\pi}{3}$.

Ответ: $16\sqrt{3} + \frac{32\pi}{3}$.

21.38. a) $\int_0^4 \sqrt{4x - x^2} dx$;

б) $\int_{-1}^0 \sqrt{-x^2 - 2x} dx.$

а)

Данный интеграл $\int_{0}^{4} \sqrt{4x - x^2} dx$ можно вычислить, используя его геометрический смысл. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{4x - x^2}$. Область определения этой функции задается неравенством $4x - x^2 \ge 0$, или $x(4-x) \ge 0$, что выполняется для $x \in [0, 4]$. Это совпадает с пределами интегрирования.

Возведем обе части уравнения $y = \sqrt{4x - x^2}$ в квадрат (при условии $y \ge 0$): $y^2 = 4x - x^2$

Перенесем все члены с переменными в левую часть и выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 4x + y^2 = 0$
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$
$(x - 2)^2 + y^2 = 4$
$(x - 2)^2 + y^2 = 2^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r = 2$. Поскольку исходная функция была $y = \sqrt{4x - x^2}$, мы рассматриваем только верхнюю половину этой окружности (где $y \ge 0$). Пределы интегрирования от $0$ до $4$ соответствуют полному диаметру окружности вдоль оси Ox. Таким образом, значение интеграла равно площади верхней полуокружности радиуса 2.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$. Площадь полуокружности равна половине площади круга:
$S_{полуокружности} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 - 2x} dx$, также используя его геометрический смысл. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-x^2 - 2x}$. Область определения: $-x^2 - 2x \ge 0$, или $x^2 + 2x \le 0$, то есть $x(x+2) \le 0$. Это верно для $x \in [-2, 0]$. Пределы интегрирования $[-1, 0]$ входят в эту область.

Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{-x^2 - 2x}$ при $y \ge 0$. Возведем в квадрат: $y^2 = -x^2 - 2x$

Перенесем все в левую часть и выделим полный квадрат: $x^2 + 2x + y^2 = 0$
$(x^2 + 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$
$(x + 1)^2 + y^2 = 1$
$(x + 1)^2 + y^2 = 1^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $r = 1$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования от $-1$ до $0$. Это означает, что мы ищем площадь под кривой от центра окружности ($x = -1$) до ее правого края ($x = 0$). Эта область представляет собой четверть круга радиуса 1.

Площадь круга радиуса 1 равна $S_{круга} = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi$. Площадь четверти круга равна:
$S_{четверти} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

21.39. a) $\int_{-2}^{3} |x| dx;$

B) $\int_{0}^{5} |x - 1| dx;$

б) $\int_{-2}^{3} (|x - 2| + 4x) dx;$

Г) $\int_{-3}^{2} (|x + 1| - 2x) dx.$

а) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{3} |x| dx$ необходимо раскрыть модуль. Функция под знаком модуля, $y=x$, меняет знак в точке $x=0$. Эта точка принадлежит промежутку интегрирования $[-2, 3]$.
Поэтому разобьем интеграл на два:

$\int_{-2}^{3} |x| dx = \int_{-2}^{0} |x| dx + \int_{0}^{3} |x| dx$

На промежутке $[-2, 0]$ значение $x \le 0$, поэтому $|x| = -x$.
На промежутке $[0, 3]$ значение $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$.

Подставим эти выражения в интегралы:
$\int_{-2}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{3} x dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{3}$

Вычислим каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(-\frac{0^2}{2} - \left(-\frac{(-2)^2}{2}\right)\right) + \left(\frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = \left(0 - \left(-\frac{4}{2}\right)\right) + \left(\frac{9}{2} - 0\right) = 2 + \frac{9}{2} = \frac{4}{2} + \frac{9}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$

Ответ: $6.5$

в) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{5} |x - 1| dx$ раскроем модуль. Выражение $x-1$ меняет знак в точке $x=1$. Эта точка принадлежит промежутку интегрирования $[0, 5]$.
Разобьем интеграл на два:

$\int_{0}^{5} |x - 1| dx = \int_{0}^{1} |x - 1| dx + \int_{1}^{5} |x - 1| dx$

На промежутке $[0, 1]$ выражение $x - 1 \le 0$, поэтому $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
На промежутке $[1, 5]$ выражение $x - 1 \ge 0$, поэтому $|x - 1| = x - 1$.

Подставим эти выражения в интегралы:
$\int_{0}^{1} (1 - x) dx + \int_{1}^{5} (x - 1) dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{5}$

Вычислим по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left((1 - \frac{1^2}{2}) - (0 - \frac{0^2}{2})\right) + \left((\frac{5^2}{2} - 5) - (\frac{1^2}{2} - 1)\right) = \left(\frac{1}{2} - 0\right) + \left((\frac{25}{2} - \frac{10}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})\right)$

$\frac{1}{2} + \left(\frac{15}{2} - (-\frac{1}{2})\right) = \frac{1}{2} + \frac{16}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$

Ответ: $8.5$

б) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{3} (|x - 2| + 4x) dx$.
Воспользуемся свойством аддитивности интеграла:
$\int_{-2}^{3} (|x - 2| + 4x) dx = \int_{-2}^{3} |x - 2| dx + \int_{-2}^{3} 4x dx$

Сначала вычислим первый интеграл $\int_{-2}^{3} |x - 2| dx$. Выражение $x - 2$ меняет знак в точке $x=2$, которая находится внутри промежутка интегрирования $[-2, 3]$.
Разобьем его на два: $\int_{-2}^{2} |x - 2| dx + \int_{2}^{3} |x - 2| dx$.
На $[-2, 2]$ имеем $|x - 2| = -(x-2) = 2 - x$.
На $[2, 3]$ имеем $|x - 2| = x - 2$.

$\int_{-2}^{2} (2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x - 2) dx = \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{2} + \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{2}^{3}$
$= \left((4 - \frac{4}{2}) - (-4 - \frac{4}{2})\right) + \left((\frac{9}{2} - 6) - (\frac{4}{2} - 4)\right) = (2 - (-6)) + ((\frac{9-12}{2}) - (2 - 4)) = 8 + (-\frac{3}{2} - (-2)) = 8 - \frac{3}{2} + 2 = 10 - \frac{3}{2} = \frac{17}{2}$

Теперь вычислим второй интеграл: $\int_{-2}^{3} 4x dx = \left[2x^2\right]_{-2}^{3} = 2 \cdot 3^2 - 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot 9 - 2 \cdot 4 = 18 - 8 = 10$.

Сложим результаты: $\frac{17}{2} + 10 = \frac{17}{2} + \frac{20}{2} = \frac{37}{2} = 18.5$.

Ответ: $18.5$

г) Вычислим интеграл $\int_{-3}^{2} (|x + 1| - 2x) dx$.
Разобьем на два интеграла:
$\int_{-3}^{2} |x + 1| dx - \int_{-3}^{2} 2x dx$

Вычислим $\int_{-3}^{2} |x + 1| dx$. Выражение $x + 1$ меняет знак при $x = -1$, что входит в промежуток $[-3, 2]$.
$\int_{-3}^{-1} |x + 1| dx + \int_{-1}^{2} |x + 1| dx$.
На $[-3, -1]$ имеем $|x + 1| = -(x+1) = -x - 1$.
На $[-1, 2]$ имеем $|x + 1| = x + 1$.

$\int_{-3}^{-1} (-x - 1) dx + \int_{-1}^{2} (x + 1) dx = \left[-\frac{x^2}{2} - x\right]_{-3}^{-1} + \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_{-1}^{2}$
$= \left((-\frac{1}{2} + 1) - (-\frac{9}{2} + 3)\right) + \left((\frac{4}{2} + 2) - (\frac{1}{2} - 1)\right) = (\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2})) + (4 - (-\frac{1}{2})) = (\frac{4}{2}) + (\frac{9}{2}) = 2 + 4.5 = 6.5 = \frac{13}{2}$

Вычислим второй интеграл: $\int_{-3}^{2} 2x dx = \left[x^2\right]_{-3}^{2} = 2^2 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$.

Вычтем из первого результата второй: $\frac{13}{2} - (-5) = \frac{13}{2} + 5 = \frac{13}{2} + \frac{10}{2} = \frac{23}{2} = 11.5$.

Ответ: $11.5$

21.40. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой $v = v(t)$ (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения $(t = 0)$, если:

a) $v(t) = 3t^2 - 4t + 1$;

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t + 1}};$

в) $v(t) = 4t^3 - 6t^2$;

г) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{7t + 4}}$?

Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, можно найти, вычислив определенный интеграл от модуля скорости по времени. Формула для вычисления пути $S$ за время от $t=0$ до $t=3$ секунд выглядит так:

$S = \int_{0}^{3} |v(t)| dt$

Единицы измерения: время $t$ в секундах, скорость $v$ в см/с, путь $S$ в см.

а) $v(t) = 3t^2 - 4t + 1$

Сначала определим, меняет ли функция скорости $v(t)$ знак на интервале $[0, 3]$. Для этого найдем корни уравнения $v(t) = 0$:

$3t^2 - 4t + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Оба корня, $t_1 = 1/3$ и $t_2 = 1$, принадлежат интервалу $[0, 3]$. Это означает, что направление движения точки меняется. График функции $v(t)$ — парабола с ветвями вверх. Следовательно:

• $v(t) \ge 0$ при $t \in [0, 1/3]$
• $v(t) \le 0$ при $t \in [1/3, 1]$
• $v(t) \ge 0$ при $t \in [1, 3]$

Для нахождения общего пути $S$ нужно проинтегрировать модуль скорости, разбив интеграл на три части:

$S = \int_{0}^{3} |3t^2 - 4t + 1| dt = \int_{0}^{1/3} (3t^2 - 4t + 1) dt + \int_{1/3}^{1} -(3t^2 - 4t + 1) dt + \int_{1}^{3} (3t^2 - 4t + 1) dt$

Найдем первообразную для $v(t)$: $P(t) = \int (3t^2 - 4t + 1) dt = t^3 - 2t^2 + t$.

Вычислим значения интегралов:

$S_1 = \int_{0}^{1/3} (3t^2 - 4t + 1) dt = [t^3 - 2t^2 + t]_{0}^{1/3} = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1 - 6 + 9}{27} = \frac{4}{27}$.

$S_2 = \int_{1/3}^{1} |3t^2 - 4t + 1| dt = |\int_{1/3}^{1} (3t^2 - 4t + 1) dt| = |[t^3 - 2t^2 + t]_{1/3}^{1}| = |(1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1) - (\frac{4}{27})| = |0 - \frac{4}{27}| = \frac{4}{27}$.

$S_3 = \int_{1}^{3} (3t^2 - 4t + 1) dt = [t^3 - 2t^2 + t]_{1}^{3} = (3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3) - (1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1) = (27 - 18 + 3) - 0 = 12$.

Полный путь: $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{4}{27} + \frac{4}{27} + 12 = \frac{8}{27} + 12 = 12 \frac{8}{27}$.

Ответ: $12 \frac{8}{27}$ см.

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t + 1}}$

На интервале $[0, 3]$ выражение под корнем $5t+1$ всегда положительно. Значение корня также всегда положительно, поэтому скорость $v(t) > 0$ на всем интервале. Направление движения не меняется.

Путь равен интегралу от функции скорости:

$S = \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{5t+1}} dt = \int_{0}^{3} (5t+1)^{-1/2} dt$.

Найдем первообразную: $\int (5t+1)^{-1/2} dt = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5t+1)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5}\sqrt{5t+1} + C$.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [\frac{2}{5}\sqrt{5t+1}]_{0}^{3} = \frac{2}{5}\sqrt{5 \cdot 3 + 1} - \frac{2}{5}\sqrt{5 \cdot 0 + 1} = \frac{2}{5}\sqrt{16} - \frac{2}{5}\sqrt{1} = \frac{2}{5} \cdot 4 - \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{8}{5} - \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$.

Ответ: $1.2$ см.

в) $v(t) = 4t^3 - 6t^2$

Определим знак скорости на интервале $[0, 3]$. $v(t) = 2t^2(2t - 3)$.

Корни уравнения $v(t)=0$: $t=0$ и $2t-3=0 \Rightarrow t=1.5$.

Корень $t=1.5$ лежит внутри интервала $[0, 3]$. Множитель $2t^2$ неотрицателен, поэтому знак $v(t)$ зависит от знака $(2t-3)$.

• $v(t) \le 0$ при $t \in [0, 1.5]$
• $v(t) \ge 0$ при $t \in [1.5, 3]$

Направление движения меняется в момент $t=1.5$. Путь вычисляется как:

$S = \int_{0}^{3} |4t^3 - 6t^2| dt = \int_{0}^{1.5} -(4t^3 - 6t^2) dt + \int_{1.5}^{3} (4t^3 - 6t^2) dt$.

Найдем первообразную для $v(t)$: $P(t) = \int (4t^3 - 6t^2) dt = t^4 - 2t^3$.

Вычислим значения интегралов:

$S_1 = \int_{0}^{1.5} (6t^2 - 4t^3) dt = [2t^3 - t^4]_{0}^{1.5} = 2(1.5)^3 - (1.5)^4 - 0 = 2(\frac{3}{2})^3 - (\frac{3}{2})^4 = 2 \cdot \frac{27}{8} - \frac{81}{16} = \frac{27}{4} - \frac{81}{16} = \frac{108 - 81}{16} = \frac{27}{16}$.

$S_2 = \int_{1.5}^{3} (4t^3 - 6t^2) dt = [t^4 - 2t^3]_{1.5}^{3} = (3^4 - 2 \cdot 3^3) - ((1.5)^4 - 2(1.5)^3) = (81 - 54) - (\frac{81}{16} - \frac{108}{16}) = 27 - (-\frac{27}{16}) = 27 + \frac{27}{16} = \frac{432+27}{16} = \frac{459}{16}$.

Полный путь: $S = S_1 + S_2 = \frac{27}{16} + \frac{459}{16} = \frac{486}{16} = \frac{243}{8} = 30.375$.

Ответ: $30.375$ см.

г) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{7t+4}}$

На интервале $[0, 3]$ выражение $7t+4$ всегда положительно. Следовательно, скорость $v(t)>0$ на всем интервале и направление движения не меняется.

Путь равен интегралу от функции скорости:

$S = \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{7t+4}} dt = \int_{0}^{3} (7t+4)^{-1/2} dt$.

Найдем первообразную: $\int (7t+4)^{-1/2} dt = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7t+4)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{7}\sqrt{7t+4} + C$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = [\frac{2}{7}\sqrt{7t+4}]_{0}^{3} = \frac{2}{7}\sqrt{7 \cdot 3 + 4} - \frac{2}{7}\sqrt{7 \cdot 0 + 4} = \frac{2}{7}\sqrt{25} - \frac{2}{7}\sqrt{4} = \frac{2}{7} \cdot 5 - \frac{2}{7} \cdot 2 = \frac{10}{7} - \frac{4}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$ см.

21.41. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону $v = v(t)$ (время $t$ измеряется в минутах, а скорость — в метрах в минуту). За какое время, считая от начала движения, точка пройдёт расстояние $s$ метров, если:

a) $v(t) = 2t - 3, s = 4;$

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{t + 1}}, s = 2?$

а) Расстояние $s$, пройденное материальной точкой, вычисляется как интеграл от модуля (абсолютной величины) скорости по времени. Чтобы найти искомое время $T$, нужно решить уравнение: $s = \int_{0}^{T} |v(t)| \,dt$

В данном случае заданы $v(t) = 2t - 3$ и $s = 4$. Сначала определим, в какой момент времени скорость меняет свой знак. $v(t) = 0 \implies 2t - 3 = 0 \implies t = 1.5$ минуты.

Для интервала времени $0 \le t < 1.5$, скорость $v(t)$ отрицательна, поэтому её модуль равен $|v(t)| = -(2t-3) = 3 - 2t$.
Для $t \ge 1.5$, скорость $v(t)$ неотрицательна, и модуль скорости равен $|v(t)| = 2t-3$.

Вычислим расстояние, которое точка прошла за первые 1.5 минуты: $s_1 = \int_{0}^{1.5} |v(t)| \,dt = \int_{0}^{1.5} (3 - 2t) \,dt = \left[3t - t^2\right]_{0}^{1.5} = (3 \cdot 1.5 - 1.5^2) - 0 = 4.5 - 2.25 = 2.25$ метра.

Требуемое расстояние $s=4$ метра больше, чем 2.25 метра, следовательно, искомое время $T$ должно быть больше 1.5 минуты. Общее расстояние является суммой расстояний, пройденных на двух временных интервалах: от $0$ до $1.5$ мин и от $1.5$ мин до $T$. $s = \int_{0}^{1.5} (3 - 2t) \,dt + \int_{1.5}^{T} (2t - 3) \,dt = 4$

Первый интеграл равен $2.25$. Вычислим второй интеграл: $\int_{1.5}^{T} (2t - 3) \,dt = \left[t^2 - 3t\right]_{1.5}^{T} = (T^2 - 3T) - (1.5^2 - 3 \cdot 1.5) = (T^2 - 3T) - (2.25 - 4.5) = T^2 - 3T + 2.25$.

Теперь подставим вычисленные значения в уравнение для общего расстояния: $2.25 + (T^2 - 3T + 2.25) = 4$ $T^2 - 3T + 4.5 = 4$ $T^2 - 3T + 0.5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $T$: $T = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$.

Мы получили два возможных значения для $T$: $T_1 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$ и $T_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$. Учитывая, что мы ищем время $T > 1.5$, нужно выбрать подходящий корень. $T_1 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} \approx \frac{3 - 2.646}{2} \approx 0.177$. Это значение меньше 1.5, поэтому оно не является решением нашей задачи. $T_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{3 + 2.646}{2} \approx 2.823$. Это значение больше 1.5, следовательно, это и есть искомое время.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ минуты.

б) Аналогично предыдущему пункту, искомое время $T$ находится из уравнения: $s = \int_{0}^{T} |v(t)| \,dt$

В этом случае дано $v(t) = \frac{1}{\sqrt{t+1}}$ и $s = 2$. Поскольку время $t \ge 0$, выражение под корнем $t+1$ всегда больше или равно 1. Следовательно, знаменатель $\sqrt{t+1}$ всегда положителен, и скорость $v(t)$ также всегда положительна. Это означает, что $|v(t)| = v(t)$.

Составим уравнение для нахождения $T$: $2 = \int_{0}^{T} \frac{1}{\sqrt{t+1}} \,dt$

Для вычисления интеграла представим подынтегральную функцию в виде $(t+1)^{-1/2}$: $\int \frac{1}{\sqrt{t+1}} \,dt = \int (t+1)^{-1/2} \,dt = \frac{(t+1)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{(t+1)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t+1} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл: $\int_{0}^{T} \frac{1}{\sqrt{t+1}} \,dt = \left[2\sqrt{t+1}\right]_{0}^{T} = 2\sqrt{T+1} - 2\sqrt{0+1} = 2\sqrt{T+1} - 2$.

Подставим результат в исходное уравнение: $2 = 2\sqrt{T+1} - 2$ $4 = 2\sqrt{T+1}$ $2 = \sqrt{T+1}$

Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: $4 = T+1$ $T = 3$

Ответ: 3 минуты.