Номер 21.37, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.37, страница 140.

Используя геометрические соображения, вычислите интеграл:

21.37. a) $\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx;$

б) $\int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{4 - x^2} dx;$

в) $\int_{-5}^{0} \sqrt{25 - x^2} dx;$

г) $\int_{-4}^{4} \sqrt{64 - x^2} dx.$

Заданные интегралы можно вычислить, интерпретируя их как площадь под кривой. Подынтегральная функция вида $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ является уравнением верхней полуокружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R$. Определенный интеграл $\int_a^b \sqrt{R^2 - x^2} \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной этой полуокружностью, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

а) $\int_0^4 \sqrt{16 - x^2} dx$

Подынтегральная функция $y = \sqrt{16 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=4$. Это означает, что нам нужно найти площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти. Эта фигура представляет собой четверть круга радиусом 4.

Площадь всего круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. В нашем случае $S_{круга} = \pi (4^2) = 16\pi$.

Площадь четверти круга равна: $S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

б) $\int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{4 - x^2} dx$

Подынтегральная функция $y = \sqrt{4 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=\sqrt{2}$. Искомая площадь ограничена осями координат, прямой $x=\sqrt{2}$ и дугой окружности.

Эту фигуру можно разбить на две части: треугольник и сектор круга. Найдем точку на окружности при $x=\sqrt{2}$: $y = \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$. Точка имеет координаты $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Разобьем искомую площадь на:
1. Площадь прямоугольного треугольника с вершинами в $(0,0)$, $(\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Его площадь равна $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 1$.
2. Площадь сектора круга, ограниченного радиусами, проведенными к точкам $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(0, 2)$ (точка пересечения с осью $Oy$). Угол, который образует радиус-вектор точки $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ с осью $Ox$, равен $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$. Угол сектора, соответственно, равен $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{1}{2} R^2 \theta$. $S_{сект} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Суммарная площадь равна сумме площадей треугольника и сектора: $S = S_{треуг} + S_{сект} = 1 + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 1$.

в) $\int_{-5}^0 \sqrt{25 - x^2} dx$

Подынтегральная функция $y = \sqrt{25 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Пределы интегрирования от $x=-5$ до $x=0$. Это означает, что нам нужно найти площадь фигуры, расположенной во второй координатной четверти. Эта фигура представляет собой четверть круга радиусом 5.

Площадь всего круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (5^2) = 25\pi$.

Площадь четверти круга равна: $S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \cdot 25\pi = \frac{25\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{25\pi}{4}$.

г) $\int_{-4}^4 \sqrt{64 - x^2} dx$

Подынтегральная функция $y = \sqrt{64 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{64} = 8$. Пределы интегрирования от $x=-4$ до $x=4$. Так как функция $y(x)$ является четной, а промежуток интегрирования симметричен относительно нуля, искомая площадь равна удвоенной площади фигуры под кривой от $x=0$ до $x=4$.

$S = 2 \int_0^4 \sqrt{64 - x^2} dx$.

Вычислим площадь от $x=0$ до $x=4$. Найдем точку на окружности при $x=4$: $y = \sqrt{64 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Точка $P$ имеет координаты $(4, 4\sqrt{3})$.
Как и в пункте б), разобьем площадь на треугольник и сектор.
1. Площадь прямоугольного треугольника с вершинами в $(0,0)$, $(4, 0)$ и $(4, 4\sqrt{3})$: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
2. Площадь сектора круга. Угол, который образует радиус-вектор точки $P(4, 4\sqrt{3})$ с осью $Ox$, равен $\alpha = \arccos\left(\frac{4}{8}\right) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Угол сектора, примыкающего к оси $Oy$, равен $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$.
Площадь сектора: $S_{сект} = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{32\pi}{6} = \frac{16\pi}{3}$.

Площадь от 0 до 4 равна $S_{0 \to 4} = S_{треуг} + S_{сект} = 8\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3}$.
Полная площадь от -4 до 4: $S = 2 \cdot S_{0 \to 4} = 2 \left( 8\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3} \right) = 16\sqrt{3} + \frac{32\pi}{3}$.

Ответ: $16\sqrt{3} + \frac{32\pi}{3}$.