Номер 21.38, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.38, страница 140.

21.38. a) $\int_0^4 \sqrt{4x - x^2} dx$;

б) $\int_{-1}^0 \sqrt{-x^2 - 2x} dx.$

а)

Данный интеграл $\int_{0}^{4} \sqrt{4x - x^2} dx$ можно вычислить, используя его геометрический смысл. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{4x - x^2}$. Область определения этой функции задается неравенством $4x - x^2 \ge 0$, или $x(4-x) \ge 0$, что выполняется для $x \in [0, 4]$. Это совпадает с пределами интегрирования.

Возведем обе части уравнения $y = \sqrt{4x - x^2}$ в квадрат (при условии $y \ge 0$): $y^2 = 4x - x^2$

Перенесем все члены с переменными в левую часть и выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 4x + y^2 = 0$
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$
$(x - 2)^2 + y^2 = 4$
$(x - 2)^2 + y^2 = 2^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r = 2$. Поскольку исходная функция была $y = \sqrt{4x - x^2}$, мы рассматриваем только верхнюю половину этой окружности (где $y \ge 0$). Пределы интегрирования от $0$ до $4$ соответствуют полному диаметру окружности вдоль оси Ox. Таким образом, значение интеграла равно площади верхней полуокружности радиуса 2.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$. Площадь полуокружности равна половине площади круга:
$S_{полуокружности} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 - 2x} dx$, также используя его геометрический смысл. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-x^2 - 2x}$. Область определения: $-x^2 - 2x \ge 0$, или $x^2 + 2x \le 0$, то есть $x(x+2) \le 0$. Это верно для $x \in [-2, 0]$. Пределы интегрирования $[-1, 0]$ входят в эту область.

Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{-x^2 - 2x}$ при $y \ge 0$. Возведем в квадрат: $y^2 = -x^2 - 2x$

Перенесем все в левую часть и выделим полный квадрат: $x^2 + 2x + y^2 = 0$
$(x^2 + 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$
$(x + 1)^2 + y^2 = 1$
$(x + 1)^2 + y^2 = 1^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $r = 1$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования от $-1$ до $0$. Это означает, что мы ищем площадь под кривой от центра окружности ($x = -1$) до ее правого края ($x = 0$). Эта область представляет собой четверть круга радиуса 1.

Площадь круга радиуса 1 равна $S_{круга} = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi$. Площадь четверти круга равна:
$S_{четверти} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.