Номер 21.39, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.39, страница 140.

21.39. a) $\int_{-2}^{3} |x| dx;$

B) $\int_{0}^{5} |x - 1| dx;$

б) $\int_{-2}^{3} (|x - 2| + 4x) dx;$

Г) $\int_{-3}^{2} (|x + 1| - 2x) dx.$

а) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{3} |x| dx$ необходимо раскрыть модуль. Функция под знаком модуля, $y=x$, меняет знак в точке $x=0$. Эта точка принадлежит промежутку интегрирования $[-2, 3]$.
Поэтому разобьем интеграл на два:

$\int_{-2}^{3} |x| dx = \int_{-2}^{0} |x| dx + \int_{0}^{3} |x| dx$

На промежутке $[-2, 0]$ значение $x \le 0$, поэтому $|x| = -x$.
На промежутке $[0, 3]$ значение $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$.

Подставим эти выражения в интегралы:
$\int_{-2}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{3} x dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{3}$

Вычислим каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(-\frac{0^2}{2} - \left(-\frac{(-2)^2}{2}\right)\right) + \left(\frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = \left(0 - \left(-\frac{4}{2}\right)\right) + \left(\frac{9}{2} - 0\right) = 2 + \frac{9}{2} = \frac{4}{2} + \frac{9}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$

Ответ: $6.5$

в) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{5} |x - 1| dx$ раскроем модуль. Выражение $x-1$ меняет знак в точке $x=1$. Эта точка принадлежит промежутку интегрирования $[0, 5]$.
Разобьем интеграл на два:

$\int_{0}^{5} |x - 1| dx = \int_{0}^{1} |x - 1| dx + \int_{1}^{5} |x - 1| dx$

На промежутке $[0, 1]$ выражение $x - 1 \le 0$, поэтому $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
На промежутке $[1, 5]$ выражение $x - 1 \ge 0$, поэтому $|x - 1| = x - 1$.

Подставим эти выражения в интегралы:
$\int_{0}^{1} (1 - x) dx + \int_{1}^{5} (x - 1) dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{5}$

Вычислим по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left((1 - \frac{1^2}{2}) - (0 - \frac{0^2}{2})\right) + \left((\frac{5^2}{2} - 5) - (\frac{1^2}{2} - 1)\right) = \left(\frac{1}{2} - 0\right) + \left((\frac{25}{2} - \frac{10}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})\right)$

$\frac{1}{2} + \left(\frac{15}{2} - (-\frac{1}{2})\right) = \frac{1}{2} + \frac{16}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$

Ответ: $8.5$

б) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{3} (|x - 2| + 4x) dx$.
Воспользуемся свойством аддитивности интеграла:
$\int_{-2}^{3} (|x - 2| + 4x) dx = \int_{-2}^{3} |x - 2| dx + \int_{-2}^{3} 4x dx$

Сначала вычислим первый интеграл $\int_{-2}^{3} |x - 2| dx$. Выражение $x - 2$ меняет знак в точке $x=2$, которая находится внутри промежутка интегрирования $[-2, 3]$.
Разобьем его на два: $\int_{-2}^{2} |x - 2| dx + \int_{2}^{3} |x - 2| dx$.
На $[-2, 2]$ имеем $|x - 2| = -(x-2) = 2 - x$.
На $[2, 3]$ имеем $|x - 2| = x - 2$.

$\int_{-2}^{2} (2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x - 2) dx = \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{2} + \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{2}^{3}$
$= \left((4 - \frac{4}{2}) - (-4 - \frac{4}{2})\right) + \left((\frac{9}{2} - 6) - (\frac{4}{2} - 4)\right) = (2 - (-6)) + ((\frac{9-12}{2}) - (2 - 4)) = 8 + (-\frac{3}{2} - (-2)) = 8 - \frac{3}{2} + 2 = 10 - \frac{3}{2} = \frac{17}{2}$

Теперь вычислим второй интеграл: $\int_{-2}^{3} 4x dx = \left[2x^2\right]_{-2}^{3} = 2 \cdot 3^2 - 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot 9 - 2 \cdot 4 = 18 - 8 = 10$.

Сложим результаты: $\frac{17}{2} + 10 = \frac{17}{2} + \frac{20}{2} = \frac{37}{2} = 18.5$.

Ответ: $18.5$

г) Вычислим интеграл $\int_{-3}^{2} (|x + 1| - 2x) dx$.
Разобьем на два интеграла:
$\int_{-3}^{2} |x + 1| dx - \int_{-3}^{2} 2x dx$

Вычислим $\int_{-3}^{2} |x + 1| dx$. Выражение $x + 1$ меняет знак при $x = -1$, что входит в промежуток $[-3, 2]$.
$\int_{-3}^{-1} |x + 1| dx + \int_{-1}^{2} |x + 1| dx$.
На $[-3, -1]$ имеем $|x + 1| = -(x+1) = -x - 1$.
На $[-1, 2]$ имеем $|x + 1| = x + 1$.

$\int_{-3}^{-1} (-x - 1) dx + \int_{-1}^{2} (x + 1) dx = \left[-\frac{x^2}{2} - x\right]_{-3}^{-1} + \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_{-1}^{2}$
$= \left((-\frac{1}{2} + 1) - (-\frac{9}{2} + 3)\right) + \left((\frac{4}{2} + 2) - (\frac{1}{2} - 1)\right) = (\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2})) + (4 - (-\frac{1}{2})) = (\frac{4}{2}) + (\frac{9}{2}) = 2 + 4.5 = 6.5 = \frac{13}{2}$

Вычислим второй интеграл: $\int_{-3}^{2} 2x dx = \left[x^2\right]_{-3}^{2} = 2^2 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$.

Вычтем из первого результата второй: $\frac{13}{2} - (-5) = \frac{13}{2} + 5 = \frac{13}{2} + \frac{10}{2} = \frac{23}{2} = 11.5$.

Ответ: $11.5$