Номер 21.33, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.33, страница 139.

Решите неравенство:

21.33. а) $ \int_{0}^{x} t dt < 0,5; $

б) $ \int_{0}^{x} (3t^2 - 8t + 3) dt > 0; $

в) $ \int_{0}^{x} t^3 dt < 0,25; $

г) $ \int_{0}^{x} (2t + 5) dt > 6. $

а)

Сначала вычислим определенный интеграл в левой части неравенства, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{x} t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{x^2}{2}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$\frac{x^2}{2} < 0,5$

Умножим обе части на 2 и перенесем все в левую часть:

$x^2 < 1 \implies x^2 - 1 < 0$

Разложим левую часть на множители: $(x-1)(x+1) < 0$. Корни соответствующего уравнения равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Так как график функции $y = x^2-1$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 1)$

б)

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{x} (3t^2 - 8t + 3) \, dt = \left[ 3\frac{t^3}{3} - 8\frac{t^2}{2} + 3t \right]_{0}^{x} = \left[ t^3 - 4t^2 + 3t \right]_{0}^{x} = x^3 - 4x^2 + 3x$

Получаем неравенство:

$x^3 - 4x^2 + 3x > 0$

Разложим левую часть на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки, а затем разложим на множители квадратный трехчлен:

$x(x^2 - 4x + 3) > 0 \implies x(x-1)(x-3) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули функции $f(x) = x(x-1)(x-3)$ это $x=0$, $x=1$, $x=3$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(3, +\infty)$. Определим знак выражения на каждом из них. На интервале $(3, +\infty)$ все множители положительны, поэтому произведение положительно. Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки на соседних интервалах будут чередоваться. Таким образом, знаки распределяются следующим образом: плюс на $(3, +\infty)$, минус на $(1, 3)$, плюс на $(0, 1)$ и минус на $(-\infty, 0)$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы $(0, 1)$ и $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (3, +\infty)$

в)

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{x} t^3 \, dt = \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{x} = \frac{x^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{x^4}{4}$

Подставим в неравенство и представим $0,25$ как $\frac{1}{4}$:

$\frac{x^4}{4} < \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 4 и перенесем все в левую часть:

$x^4 < 1 \implies x^4 - 1 < 0$

Разложим на множители: $(x^2 - 1)(x^2 + 1) < 0$.

Поскольку выражение $x^2 + 1$ всегда строго положительно при любом действительном $x$, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:

$x^2 - 1 < 0$

Это неравенство, как и в пункте а), имеет решение $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$

г)

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{x} (2t + 5) \, dt = \left[ 2\frac{t^2}{2} + 5t \right]_{0}^{x} = \left[ t^2 + 5t \right]_{0}^{x} = x^2 + 5x$

Получаем неравенство:

$x^2 + 5x > 6$

Перенесем 6 в левую часть:

$x^2 + 5x - 6 > 0$

Разложим левую часть на множители. Корнями уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

$(x-1)(x+6) > 0$

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется, когда $x$ находится левее $-6$ или правее $1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (1, +\infty)$