Номер 21.28, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.28, страница 138.

Решите уравнение:

21.28. a) $\int_{\frac{1}{4}}^{x} \frac{dt}{\sqrt{t}} = x;$

Б) $\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{2t + 4}} dt = 2;$

В) $\int_{5}^{x} \frac{1}{\sqrt{2t - 1}} dt = 4;$

Г) $\int_{2}^{x} \frac{1}{\sqrt{t + 2}} dt = 2.$

а)

Дано уравнение: $\int_{\frac{1}{4}}^{x} \frac{dt}{\sqrt{t}} = x$.

Сначала найдем неопределенный интеграл от подынтегральной функции $f(t) = \frac{1}{\sqrt{t}} = t^{-\frac{1}{2}}$.

Первообразная для $t^n$ равна $\frac{t^{n+1}}{n+1}$. В нашем случае $n = -\frac{1}{2}$.

$\int t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{t} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{1}{4}}^{x} \frac{dt}{\sqrt{t}} = [2\sqrt{t}]_{\frac{1}{4}}^{x} = 2\sqrt{x} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{x} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{x} - 1$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2\sqrt{x} - 1 = x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sqrt{x}$:

$x - 2\sqrt{x} + 1 = 0$.

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$(\sqrt{x} - 1)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $\sqrt{x} - 1 = 0$, то есть $\sqrt{x} = 1$.

Возводя обе части в квадрат, получаем $x = 1$.

Область допустимых значений для $x$ определяется из условия $x \ge \frac{1}{4}$ и $t > 0$ на всем промежутке интегрирования. Корень $x=1$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $x=1$.

б)

Дано уравнение: $\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{2t+4}} dt = 2$.

Найдем неопределенный интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{2t+4}} dt$.

Сделаем замену переменной: $u = 2t+4$, тогда $du = 2dt$, откуда $dt = \frac{1}{2}du$.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{u} + C = \sqrt{2t+4} + C$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{2t+4}} = [\sqrt{2t+4}]_{0}^{x} = \sqrt{2x+4} - \sqrt{2 \cdot 0 + 4} = \sqrt{2x+4} - \sqrt{4} = \sqrt{2x+4} - 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$\sqrt{2x+4} - 2 = 2$.

$\sqrt{2x+4} = 4$.

Возведем обе части в квадрат:

$2x+4 = 16$.

$2x = 12$.

$x = 6$.

Область допустимых значений: $2t+4 > 0 \Rightarrow t > -2$. Условие $x \ge 0$ выполнено. Корень $x=6$ подходит.

Ответ: $x=6$.

в)

Дано уравнение: $\int_{5}^{x} \frac{1}{\sqrt{2t-1}} dt = 4$.

Найдем неопределенный интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{2t-1}} dt$.

Сделаем замену переменной: $u = 2t-1$, тогда $du = 2dt$, откуда $dt = \frac{1}{2}du$.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{u} + C = \sqrt{2t-1} + C$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{5}^{x} \frac{dt}{\sqrt{2t-1}} = [\sqrt{2t-1}]_{5}^{x} = \sqrt{2x-1} - \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{2x-1} - \sqrt{9} = \sqrt{2x-1} - 3$.

Подставим в исходное уравнение:

$\sqrt{2x-1} - 3 = 4$.

$\sqrt{2x-1} = 7$.

Возведем обе части в квадрат:

$2x-1 = 49$.

$2x = 50$.

$x = 25$.

Область допустимых значений: $2t-1 > 0 \Rightarrow t > 1/2$. Условие $x \ge 5$ выполнено. Корень $x=25$ подходит.

Ответ: $x=25$.

г)

Дано уравнение: $\int_{2}^{x} \frac{1}{\sqrt{t+2}} dt = 2$.

Найдем неопределенный интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{t+2}} dt$.

Сделаем замену переменной: $u = t+2$, тогда $du = dt$.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int u^{-\frac{1}{2}} du = 2u^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{u} + C = 2\sqrt{t+2} + C$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{2}^{x} \frac{dt}{\sqrt{t+2}} = [2\sqrt{t+2}]_{2}^{x} = 2\sqrt{x+2} - 2\sqrt{2+2} = 2\sqrt{x+2} - 2\sqrt{4} = 2\sqrt{x+2} - 4$.

Подставим в исходное уравнение:

$2\sqrt{x+2} - 4 = 2$.

$2\sqrt{x+2} = 6$.

$\sqrt{x+2} = 3$.

Возведем обе части в квадрат:

$x+2 = 9$.

$x = 7$.

Область допустимых значений: $t+2 > 0 \Rightarrow t > -2$. Условие $x \ge 2$ выполнено. Корень $x=7$ подходит.

Ответ: $x=7$.