Номер 21.23, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.23, страница 135.

21.23. a) $\int_{-1}^{1} (|x - 1| + |x + 1|) dx;$

б) $\int_{-4}^{0} (|x - 2| - |x + 3|) dx;$

в) $\int_{1}^{2} (|x - 1| + |x + 1|) dx;$

г) $\int_{-4}^{4} (|x - 2| - |x + 3|) dx.$

а)

Для вычисления интеграла $ \int_{-1}^{1} (|x - 1| + |x + 1|) dx $ необходимо раскрыть модули на отрезке интегрирования $ [-1, 1] $.
На этом отрезке выполняются неравенства $ x \le 1 $ и $ x \ge -1 $.
Следовательно, $ |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x $ и $ |x + 1| = x + 1 $.
Подынтегральная функция упрощается: $ |x - 1| + |x + 1| = (1 - x) + (x + 1) = 2 $.
Вычисляем интеграл:
$ \int_{-1}^{1} 2 \,dx = 2x \Big|_{-1}^{1} = 2(1) - 2(-1) = 2 + 2 = 4 $.
Ответ: 4.

б)

Рассмотрим интеграл $ \int_{-4}^{0} (|x - 2| - |x + 3|) dx $.
Точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $ x = 2 $ и $ x = -3 $.
Точка $ x = 2 $ не входит в отрезок интегрирования $ [-4, 0] $. Точка $ x = -3 $ делит отрезок на два подинтервала: $ [-4, -3] $ и $ [-3, 0] $.
Разобьем интеграл на два:
$ \int_{-4}^{0} (|x-2| - |x+3|)dx = \int_{-4}^{-3} (|x-2| - |x+3|)dx + \int_{-3}^{0} (|x-2| - |x+3|)dx $.
1. На интервале $ [-4, -3] $: $ x-2 < 0 \implies |x-2|=-(x-2)=2-x $, и $ x+3 \le 0 \implies |x+3|=-(x+3)=-x-3 $.
Подынтегральная функция: $ (2-x) - (-x-3) = 2-x+x+3=5 $.
$ \int_{-4}^{-3} 5 \,dx = 5x \Big|_{-4}^{-3} = 5(-3) - 5(-4) = -15 + 20 = 5 $.
2. На интервале $ [-3, 0] $: $ x-2 < 0 \implies |x-2|=2-x $, и $ x+3 \ge 0 \implies |x+3|=x+3 $.
Подынтегральная функция: $ (2-x) - (x+3) = 2-x-x-3=-2x-1 $.
$ \int_{-3}^{0} (-2x-1) \,dx = (-x^2 - x) \Big|_{-3}^{0} = (0) - (-(-3)^2 - (-3)) = -(-9+3) = 6 $.
Суммируя результаты, получаем: $ 5 + 6 = 11 $.
Ответ: 11.

в)

Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} (|x - 1| + |x + 1|) dx $ раскроем модули на отрезке интегрирования $ [1, 2] $.
На этом отрезке выполняются неравенства $ x \ge 1 $ и $ x \ge -1 $.
Следовательно, $ |x - 1| = x - 1 $ и $ |x + 1| = x + 1 $.
Подынтегральная функция упрощается: $ |x - 1| + |x + 1| = (x - 1) + (x + 1) = 2x $.
Вычисляем интеграл:
$ \int_{1}^{2} 2x \,dx = x^2 \Big|_{1}^{2} = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 $.
Ответ: 3.

г)

Рассмотрим интеграл $ \int_{-4}^{4} (|x - 2| - |x + 3|) dx $.
Точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $ x = 2 $ и $ x = -3 $.
Обе точки лежат внутри отрезка интегрирования $ [-4, 4] $. Они делят его на три подинтервала: $ [-4, -3] $, $ [-3, 2] $ и $ [2, 4] $.
Разобьем интеграл на три части:
$ I = \int_{-4}^{-3} (|x-2|-|x+3|)dx + \int_{-3}^{2} (|x-2|-|x+3|)dx + \int_{2}^{4} (|x-2|-|x+3|)dx $.
1. На интервале $ [-4, -3] $: $ |x-2|=2-x $, $ |x+3|=-x-3 $. Подынтегральная функция: $ (2-x) - (-x-3) = 5 $.
$ \int_{-4}^{-3} 5 \,dx = 5x \Big|_{-4}^{-3} = 5(-3) - 5(-4) = 5 $.
2. На интервале $ [-3, 2] $: $ |x-2|=2-x $, $ |x+3|=x+3 $. Подынтегральная функция: $ (2-x) - (x+3) = -2x-1 $.
$ \int_{-3}^{2} (-2x-1) \,dx = (-x^2 - x) \Big|_{-3}^{2} = (-(2^2)-2) - (-(-3)^2-(-3)) = (-6) - (-9+3) = -6 - (-6) = 0 $.
3. На интервале $ [2, 4] $: $ |x-2|=x-2 $, $ |x+3|=x+3 $. Подынтегральная функция: $ (x-2) - (x+3) = -5 $.
$ \int_{2}^{4} (-5) \,dx = -5x \Big|_{2}^{4} = -5(4) - (-5(2)) = -20 + 10 = -10 $.
Суммируя результаты, получаем: $ I = 5 + 0 + (-10) = -5 $.
Ответ: -5.