Номер 21.19, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.19, страница 134.

21.19. Вычислите:

a) $\int_{-3}^{6} f(x)dx$, где $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 2, \\ 6 - x, & \text{если } x > 2; \end{cases}$

б) $\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ x^3, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а)

Требуется вычислить определенный интеграл $\int_{-3}^{6} f(x)dx$, где функция $f(x)$ задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 2, \\ 6 - x, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Интервал интегрирования от $-3$ до $6$. Точка $x=2$, в которой меняется аналитическое выражение функции, принадлежит этому интервалу. Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, мы можем разбить данный интеграл на сумму двух интегралов по отрезкам $[-3, 2]$ и $[2, 6]$.

$\int_{-3}^{6} f(x)dx = \int_{-3}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{6} f(x)dx$

На отрезке $[-3, 2]$ функция $f(x)$ равна $x^2$. На отрезке $[2, 6]$ функция $f(x)$ равна $6 - x$. Подставим эти выражения в интегралы:

$\int_{-3}^{6} f(x)dx = \int_{-3}^{2} x^2 dx + \int_{2}^{6} (6 - x) dx$

Теперь вычислим каждый из полученных интегралов, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} g(x)dx = G(b) - G(a)$, где $G(x)$ является первообразной для функции $g(x)$.

1. Вычислим первый интеграл. Первообразной для функции $g(x)=x^2$ является $G(x)=\frac{x^3}{3}$.

$\int_{-3}^{2} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{27}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{27}{3} = \frac{35}{3}$.

2. Вычислим второй интеграл. Первообразной для функции $g(x)=6-x$ является $G(x)=6x - \frac{x^2}{2}$.

$\int_{2}^{6} (6 - x) dx = \left. \left(6x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{2}^{6} = \left(6 \cdot 6 - \frac{6^2}{2}\right) - \left(6 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right) = (36 - \frac{36}{2}) - (12 - \frac{4}{2}) = (36 - 18) - (12 - 2) = 18 - 10 = 8$.

3. Сложим результаты вычислений:

$\int_{-3}^{6} f(x)dx = \frac{35}{3} + 8 = \frac{35}{3} + \frac{24}{3} = \frac{59}{3}$.

Ответ: $\frac{59}{3}$.

б)

Требуется вычислить определенный интеграл $\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx$, где функция $f(x)$ задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ x^3, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Интервал интегрирования от $\frac{1}{4}$ до $2$. Точка $x=1$, в которой функция меняет свое аналитическое выражение, находится внутри этого интервала. Поэтому мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов в этой точке:

$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(x)dx + \int_{1}^{2} f(x)dx$

На промежутке $(\frac{1}{4}, 1]$ имеем $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, а на промежутке $[1, 2]$ имеем $f(x) = x^3$. Подставляем эти выражения:

$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx + \int_{1}^{2} x^3 dx$

Вычислим каждый интеграл отдельно по формуле Ньютона-Лейбница.

1. Вычислим первый интеграл. Запишем подынтегральную функцию в виде $x^{-\frac{1}{2}}$. Первообразной для $x^{-\frac{1}{2}}$ является $\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$.

$\int_{\frac{1}{4}}^{1} x^{-\frac{1}{2}} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1$.

2. Вычислим второй интеграл. Первообразной для функции $x^3$ является $\frac{x^4}{4}$.

$\int_{1}^{2} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.

3. Сложим полученные результаты:

$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)dx = 1 + \frac{15}{4} = \frac{4}{4} + \frac{15}{4} = \frac{19}{4}$.

Ответ: $\frac{19}{4}$.