Номер 21.14, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.14, страница 134.

Вычислите интеграл:

21.14. а) $\int_{0}^{4} \sqrt{x(x+1)} dx;$

В) $\int_{\frac{2}{3}}^{11} 5 \cdot \sqrt[5]{3x - 1} dx;$

б) $\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1 - 2x} dx;$

Г) $\int_{2}^{3} (5x - 7)^{-\frac{2}{3}} dx.$

а) $ \int_{0}^{4} \sqrt{x}(x + 1) dx $

Сначала упростим подынтегральное выражение, раскрыв скобки:

$ \sqrt{x}(x + 1) = x^{1/2} \cdot x + x^{1/2} \cdot 1 = x^{3/2} + x^{1/2} $

Теперь найдем первообразную для этого выражения, используя формулу $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int (x^{3/2} + x^{1/2}) dx = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} $

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная:

$ \int_{0}^{4} (x^{3/2} + x^{1/2}) dx = \left. \left( \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \right) \right|_{0}^{4} $

Вычислим значение в верхнем пределе ($ x=4 $):

$ \frac{2}{5}(4)^{5/2} + \frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{5}(\sqrt{4})^5 + \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 = \frac{2}{5}(2)^5 + \frac{2}{3}(2)^3 = \frac{2}{5} \cdot 32 + \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{64}{5} + \frac{16}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{64 \cdot 3}{15} + \frac{16 \cdot 5}{15} = \frac{192 + 80}{15} = \frac{272}{15} $

Значение в нижнем пределе ($ x=0 $) равно нулю: $ \frac{2}{5}(0)^{5/2} + \frac{2}{3}(0)^{3/2} = 0 $.

Итоговый результат: $ \frac{272}{15} - 0 = \frac{272}{15} $.

Ответ: $ \frac{272}{15} $

б) $ \int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1-2x} dx $

Выполним замену переменной. Пусть $ t = 1-2x $. Тогда $ dt = -2dx $, откуда $ dx = -\frac{1}{2}dt $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = -1 $, то $ t = 1 - 2(-1) = 3 $.

Если $ x = 0 $, то $ t = 1 - 2(0) = 1 $.

Подставим все в интеграл:

$ \int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1-2x} dx = \int_{3}^{1} \sqrt[3]{t} \left(-\frac{1}{2}dt\right) = -\frac{1}{2} \int_{3}^{1} t^{1/3} dt $

Используем свойство определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $, чтобы поменять пределы интегрирования:

$ \frac{1}{2} \int_{1}^{3} t^{1/3} dt $

Теперь вычислим интеграл:

$ \frac{1}{2} \left. \left( \frac{t^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} \right) \right|_{1}^{3} = \frac{1}{2} \left. \left( \frac{t^{4/3}}{4/3} \right) \right|_{1}^{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \left. t^{4/3} \right|_{1}^{3} = \frac{3}{8} \left. t^{4/3} \right|_{1}^{3} $

Подставим пределы:

$ \frac{3}{8} (3^{4/3} - 1^{4/3}) = \frac{3}{8} (3\sqrt[3]{3} - 1) $

Ответ: $ \frac{3}{8}(3\sqrt[3]{3} - 1) $

в) $ \int_{2/3}^{11} 5 \cdot \sqrt[5]{3x-1} dx $

Вынесем константу за знак интеграла и выполним замену переменной. Пусть $ t = 3x-1 $. Тогда $ dt = 3dx $, откуда $ dx = \frac{1}{3}dt $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = 2/3 $, то $ t = 3(2/3) - 1 = 2-1 = 1 $.

Если $ x = 11 $, то $ t = 3(11) - 1 = 33-1 = 32 $.

Подставим в интеграл:

$ 5 \int_{2/3}^{11} \sqrt[5]{3x-1} dx = 5 \int_{1}^{32} \sqrt[5]{t} \left(\frac{1}{3}dt\right) = \frac{5}{3} \int_{1}^{32} t^{1/5} dt $

Вычислим интеграл:

$ \frac{5}{3} \left. \left( \frac{t^{1/5 + 1}}{1/5 + 1} \right) \right|_{1}^{32} = \frac{5}{3} \left. \left( \frac{t^{6/5}}{6/5} \right) \right|_{1}^{32} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{6} \left. t^{6/5} \right|_{1}^{32} = \frac{25}{18} \left. t^{6/5} \right|_{1}^{32} $

Подставим пределы:

$ \frac{25}{18} (32^{6/5} - 1^{6/5}) = \frac{25}{18} ((\sqrt[5]{32})^6 - 1) = \frac{25}{18} (2^6 - 1) = \frac{25}{18} (64 - 1) = \frac{25}{18} \cdot 63 $

Сократим дробь ($63 = 9 \cdot 7$, $18 = 9 \cdot 2$):

$ \frac{25 \cdot 63}{18} = \frac{25 \cdot 7}{2} = \frac{175}{2} = 87.5 $

Ответ: $ \frac{175}{2} $

г) $ \int_{2}^{3} (5x-7)^{-2/3} dx $

Выполним замену переменной. Пусть $ t = 5x-7 $. Тогда $ dt = 5dx $, откуда $ dx = \frac{1}{5}dt $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = 2 $, то $ t = 5(2) - 7 = 10-7 = 3 $.

Если $ x = 3 $, то $ t = 5(3) - 7 = 15-7 = 8 $.

Подставим в интеграл:

$ \int_{2}^{3} (5x-7)^{-2/3} dx = \int_{3}^{8} t^{-2/3} \left(\frac{1}{5}dt\right) = \frac{1}{5} \int_{3}^{8} t^{-2/3} dt $

Вычислим интеграл:

$ \frac{1}{5} \left. \left( \frac{t^{-2/3 + 1}}{-2/3 + 1} \right) \right|_{3}^{8} = \frac{1}{5} \left. \left( \frac{t^{1/3}}{1/3} \right) \right|_{3}^{8} = \frac{1}{5} \cdot 3 \left. t^{1/3} \right|_{3}^{8} = \frac{3}{5} \left. t^{1/3} \right|_{3}^{8} $

Подставим пределы:

$ \frac{3}{5} (8^{1/3} - 3^{1/3}) = \frac{3}{5} (\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{3}) = \frac{3}{5} (2 - \sqrt[3]{3}) $

Ответ: $ \frac{3}{5}(2 - \sqrt[3]{3}) $