Номер 21.10, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.10, страница 133.

Вычислите интеграл:

21.10. а) $\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left( 6 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} \right) dx;$

б) $\int_{-\pi}^{0} \left( 2 \sin^2 \frac{x}{4} - 1 \right) dx;$

в) $\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \left( \sin^2 2x - \cos^2 2x \right) dx;$

г) $\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left( 1 - 2 \cos^2 \frac{x}{3} \right) dx.$

а) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left( 6 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} \right) dx $ воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение:
$ 6 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} = 3 \cdot \left( 2 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} \right) = 3 \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{3} \right) = 3 \sin \left(\frac{2x}{3}\right) $.
Теперь интеграл имеет вид: $ \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} 3 \sin \left(\frac{2x}{3}\right) dx $.
Найдем первообразную для $ 3 \sin \left(\frac{2x}{3}\right) $. Первообразная для $ \sin(kx) $ есть $ -\frac{1}{k}\cos(kx) $.
$ \int 3 \sin \left(\frac{2x}{3}\right) dx = 3 \cdot \left( -\frac{1}{2/3} \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \right) = -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{2x}{3}\right) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:
$ \left[ -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \right]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} = \left( -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4}}{3}\right) \right) - \left( -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{2 \cdot 0}{3}\right) \right) = -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left( -\frac{9}{2} \cos(0) \right) $.
Так как $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $ и $ \cos(0) = 1 $, получаем:
$ -\frac{9}{2} \cdot 0 + \frac{9}{2} \cdot 1 = \frac{9}{2} $.
Ответ: $ \frac{9}{2} $.

б) Для вычисления интеграла $ \int_{-\pi}^{0} \left( 2 \sin^2 \frac{x}{4} - 1 \right) dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение:
$ 2 \sin^2 \frac{x}{4} - 1 = -\left(1 - 2 \sin^2 \frac{x}{4}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{-\pi}^{0} -\cos\left(\frac{x}{2}\right) dx $.
Найдем первообразную для $ -\cos\left(\frac{x}{2}\right) $. Первообразная для $ \cos(kx) $ есть $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int -\cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = -\frac{1}{1/2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[ -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{-\pi}^{0} = \left(-2 \sin\left(\frac{0}{2}\right)\right) - \left(-2 \sin\left(\frac{-\pi}{2}\right)\right) = -2 \sin(0) + 2 \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.
Так как $ \sin(0) = 0 $ и $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $, получаем:
$ -2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2 $.
Ответ: $ -2 $.

в) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \left( \sin^2 2x - \cos^2 2x \right) dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение:
$ \sin^2 2x - \cos^2 2x = -(\cos^2 2x - \sin^2 2x) = -\cos(2 \cdot 2x) = -\cos(4x) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} -\cos(4x) dx $.
Найдем первообразную для $ -\cos(4x) $. Первообразная для $ \cos(kx) $ есть $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int -\cos(4x) dx = -\frac{1}{4} \sin(4x) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[ -\frac{1}{4} \sin(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{8}} = \left(-\frac{1}{4} \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right) - \left(-\frac{1}{4} \sin(4 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{4} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{4} \sin(0) $.
Так как $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \sin(0) = 0 $, получаем:
$ -\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 = -\frac{1}{4} $.
Ответ: $ -\frac{1}{4} $.

г) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left( 1 - 2 \cos^2 \frac{x}{3} \right) dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 $.
Преобразуем подынтегральное выражение:
$ 1 - 2 \cos^2 \frac{x}{3} = -(2 \cos^2 \frac{x}{3} - 1) = -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{3}\right) = -\cos\left(\frac{2x}{3}\right) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} -\cos\left(\frac{2x}{3}\right) dx $.
Найдем первообразную для $ -\cos\left(\frac{2x}{3}\right) $. Первообразная для $ \cos(kx) $ есть $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int -\cos\left(\frac{2x}{3}\right) dx = -\frac{1}{2/3} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) = -\frac{3}{2} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[ -\frac{3}{2} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) \right]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} = \left(-\frac{3}{2} \sin\left(\frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4}}{3}\right)\right) - \left(-\frac{3}{2} \sin\left(\frac{2 \cdot 0}{3}\right)\right) = -\frac{3}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{3}{2} \sin(0) $.
Так как $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \sin(0) = 0 $, получаем:
$ -\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 = -\frac{3}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3}{2} $.