Номер 21.11, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.11, страница 133.

21.11. a) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \text{tg}^2 x) dx$;

В) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (\text{ctg}^2 x + 1) dx$;

б) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3 \text{ctg}^2 x) dx$;

Г) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (1 + 2 \text{tg}^2 x) dx$.

а) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \text{tg}^2 x) dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Интеграл принимает вид: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ есть $F(x) = \text{tg} x$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\text{tg} x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \text{tg}(0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: $1$.

б) Рассмотрим интеграл $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3 \text{ctg}^2 x) dx$.
Сначала преобразуем подынтегральное выражение, используя тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, из которого следует, что $\text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1$.
$3 - 3 \text{ctg}^2 x = 3(1 - \text{ctg}^2 x) = 3(1 - (\frac{1}{\sin^2 x} - 1)) = 3(2 - \frac{1}{\sin^2 x}) = 6 - \frac{3}{\sin^2 x}$.
Теперь найдем первообразную для этого выражения. Первообразная для $6$ есть $6x$, а для $-\frac{3}{\sin^2 x}$ есть $3\text{ctg} x$.
Таким образом, $\int (6 - \frac{3}{\sin^2 x}) dx = 6x + 3\text{ctg} x + C$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Обратим внимание, что верхний предел интегрирования меньше нижнего.
$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3 \text{ctg}^2 x) dx = [6x + 3\text{ctg} x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} = (6 \cdot \frac{\pi}{4} + 3\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) - (6 \cdot \frac{\pi}{3} + 3\text{ctg}(\frac{\pi}{3}))$.
Зная, что $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставляем значения:
$(\frac{3\pi}{2} + 3 \cdot 1) - (2\pi + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3\pi}{2} + 3 - 2\pi - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3} + \frac{3\pi - 4\pi}{2} = 3 - \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $3 - \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$.

в) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (\text{ctg}^2 x + 1) dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Интеграл принимает вид: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ есть $F(x) = -\text{ctg} x$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\text{ctg} x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = (-\text{ctg}(\frac{\pi}{3})) - (-\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) + \text{ctg}(\frac{\pi}{4})$.
Подставляем значения $\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$-\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Рассмотрим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (1 + 2 \text{tg}^2 x) dx$.
Преобразуем подынтегральное выражение, используя тождество $\text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$:
$1 + 2 \text{tg}^2 x = 1 + 2(\frac{1}{\cos^2 x} - 1) = 1 + \frac{2}{\cos^2 x} - 2 = \frac{2}{\cos^2 x} - 1$.
Найдем первообразную для этого выражения. Первообразная для $\frac{2}{\cos^2 x}$ есть $2\text{tg} x$, а для $-1$ есть $-x$.
Таким образом, $\int (\frac{2}{\cos^2 x} - 1) dx = 2\text{tg} x - x + C$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (1 + 2 \text{tg}^2 x) dx = [2\text{tg} x - x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = (2\text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4}) - (2\text{tg}(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6})$.
Зная, что $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставляем значения:
$(2 \cdot 1 - \frac{\pi}{4}) - (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}) = 2 - \frac{\pi}{4} - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{\pi}{6} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{2\pi - 3\pi}{12} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{12}$.
Ответ: $2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{12}$.