Номер 21.6, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.6, страница 132.

21.6.

a) $\int_{-1}^{0} \frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} dx;$

Б) $\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 4)(x^2 - 1)}{x^2 + x - 2} dx;$

В) $\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 3x + 2)(2 + x)}{x - 1} dx;$

Г) $\int_{-1}^{1} \frac{(9 - x^2)(x^2 - 16)}{x^2 - 7x + 12} dx.$

а) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2}dx$.

Сначала упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель на множители: $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

$\frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} = \frac{x(x - 2)(3 - 2x)}{x - 2}$

На промежутке интегрирования $[-1, 0]$ знаменатель $x - 2 \neq 0$, поэтому мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$x(3 - 2x) = 3x - 2x^2$

Теперь вычислим определенный интеграл от полученного выражения:

$\int_{-1}^{0} (3x - 2x^2)dx$

Найдем первообразную для $3x - 2x^2$.

$\int (3x - 2x^2)dx = 3\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} + C$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{-1}^{0} (3x - 2x^2)dx = \left. \left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right) \right|_{-1}^{0} = \left( \frac{3}{2}(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 \right) - \left( \frac{3}{2}(-1)^2 - \frac{2}{3}(-1)^3 \right)$

$= 0 - \left( \frac{3}{2}(1) - \frac{2}{3}(-1) \right) = - \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \right) = - \left( \frac{9}{6} + \frac{4}{6} \right) = -\frac{13}{6}$

Ответ: $-\frac{13}{6}$

б) Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 4)(x^2 - 1)}{x^2 + x - 2}dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $(x^2 - 4)(x^2 - 1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.

Знаменатель: $x^2 + x - 2$. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$.

$\frac{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}$

На промежутке интегрирования $[2, 3]$ множители $(x-1)$ и $(x+2)$ не равны нулю, поэтому их можно сократить:

$(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$

Вычислим интеграл от упрощенного выражения:

$\int_{2}^{3} (x^2 - x - 2)dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x \right) \right|_{2}^{3}$

$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} - 2(3) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2(2) \right)$

$= \left( 9 - \frac{9}{2} - 6 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \left( 3 - \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right)$

$= \left( \frac{6-9}{2} \right) - \left( \frac{8-18}{3} \right) = -\frac{3}{2} - \left( -\frac{10}{3} \right) = -\frac{3}{2} + \frac{10}{3} = \frac{-9+20}{6} = \frac{11}{6}$

Ответ: $\frac{11}{6}$

в) Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 3x + 2)(2 + x)}{x - 1}dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$.

Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

$\frac{(x-1)(x-2)(x+2)}{x-1}$

На промежутке интегрирования $[2, 3]$ множитель $(x-1)$ не равен нулю, поэтому его можно сократить:

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

Вычислим интеграл от упрощенного выражения:

$\int_{2}^{3} (x^2 - 4)dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - 4x \right) \right|_{2}^{3}$

$= \left( \frac{3^3}{3} - 4(3) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 4(2) \right) = (9 - 12) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right)$

$= -3 - \left( \frac{8-24}{3} \right) = -3 - \left( -\frac{16}{3} \right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{-9+16}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$

г) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} \frac{(9 - x^2)(x^2 - 16)}{x^2 - 7x + 12}dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $(9 - x^2)(x^2 - 16) = (3-x)(3+x)(x-4)(x+4)$.

Знаменатель: $x^2 - 7x + 12$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ это $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.

$\frac{(3-x)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)}$

Заметим, что $3-x = -(x-3)$.

$\frac{-(x-3)(x+3)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)}$

На промежутке интегрирования $[-1, 1]$ множители $(x-3)$ и $(x-4)$ не равны нулю, поэтому их можно сократить:

$-(x+3)(x+4) = -(x^2 + 4x + 3x + 12) = -x^2 - 7x - 12$

Вычислим интеграл от упрощенного выражения:

$\int_{-1}^{1} (-x^2 - 7x - 12)dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 12x \right) \right|_{-1}^{1}$

$= \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{7(1)^2}{2} - 12(1) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{7(-1)^2}{2} - 12(-1) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right)$

$= -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 - \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 12 = -\frac{2}{3} - 24 = \frac{-2 - 72}{3} = -\frac{74}{3}$

Ответ: $-\frac{74}{3}$