Номер 21.2, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.2, страница 131.

21.2. a) $\int_{1}^{2} \left( \frac{3}{x^2} + x^2 + 2 \right) dx;$

Б) $\int_{0}^{1} \left( \frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{3}{(x+1)^2} \right) dx;$

В) $\int_{-2}^{-1} \left( -\frac{5}{x^2} + x^4 - 3x \right) dx;$

Г) $\int_{5}^{8} \left( \frac{2}{(x-2)^2} - \frac{1}{\sqrt{x-4}} \right) dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} \left(\frac{3}{x^2} + x^2 + 2\right) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{3}{x^2} + x^2 + 2$. Для удобства представим ее в виде $f(x) = 3x^{-2} + x^2 + 2$.

Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int (3x^{-2} + x^2 + 2) dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2x = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^3}{3} + 2x = -\frac{3}{x} + \frac{x^3}{3} + 2x$.

2. Вычислим значения первообразной на концах отрезка интегрирования.

При $x=2$:
$F(2) = -\frac{3}{2} + \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 = -\frac{3}{2} + \frac{8}{3} + 4$. Приводим к общему знаменателю 6: $F(2) = -\frac{9}{6} + \frac{16}{6} + \frac{24}{6} = \frac{-9+16+24}{6} = \frac{31}{6}$.

При $x=1$:
$F(1) = -\frac{3}{1} + \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 = -3 + \frac{1}{3} + 2 = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$.

3. Найдем значение интеграла как разность значений первообразной.

$\int_{1}^{2} \left(\frac{3}{x^2} + x^2 + 2\right) dx = F(2) - F(1) = \frac{31}{6} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{31}{6} + \frac{2}{3} = \frac{31}{6} + \frac{4}{6} = \frac{35}{6}$.

Ответ: $\frac{35}{6}$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} \left(\frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{3}{(x+1)^2}\right) dx$.

1. Перепишем подынтегральную функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 2(x+1)^{-1/2} - 3(x+1)^{-2}$.

2. Найдем первообразную $F(x)$, используя правило $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$.

$F(x) = \int (2(x+1)^{-1/2} - 3(x+1)^{-2}) dx = 2 \cdot \frac{(x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} - 3 \cdot \frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} = 2 \cdot \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} - 3 \cdot \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = 4\sqrt{x+1} + \frac{3}{x+1}$.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

При $x=1$:
$F(1) = 4\sqrt{1+1} + \frac{3}{1+1} = 4\sqrt{2} + \frac{3}{2}$.

При $x=0$:
$F(0) = 4\sqrt{0+1} + \frac{3}{0+1} = 4\sqrt{1} + 3 = 4 + 3 = 7$.

4. Вычислим значение интеграла.

$\int_{0}^{1} \left(\frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{3}{(x+1)^2}\right) dx = F(1) - F(0) = \left(4\sqrt{2} + \frac{3}{2}\right) - 7 = 4\sqrt{2} + \frac{3}{2} - \frac{14}{2} = 4\sqrt{2} - \frac{11}{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2} - \frac{11}{2}$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x^2} + x^4 - 3x\right) dx$.

1. Найдем первообразную для $f(x) = -5x^{-2} + x^4 - 3x$.

$F(x) = \int (-5x^{-2} + x^4 - 3x) dx = -5 \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^5}{5} - 3 \frac{x^2}{2} = \frac{5}{x} + \frac{x^5}{5} - \frac{3x^2}{2}$.

2. Вычислим значения первообразной на концах отрезка интегрирования.

При $x=-1$:
$F(-1) = \frac{5}{-1} + \frac{(-1)^5}{5} - \frac{3(-1)^2}{2} = -5 - \frac{1}{5} - \frac{3}{2} = -\frac{50}{10} - \frac{2}{10} - \frac{15}{10} = -\frac{67}{10}$.

При $x=-2$:
$F(-2) = \frac{5}{-2} + \frac{(-2)^5}{5} - \frac{3(-2)^2}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{32}{5} - \frac{12}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{32}{5} - 6 = -\frac{25}{10} - \frac{64}{10} - \frac{60}{10} = -\frac{149}{10}$.

3. Найдем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

$\int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x^2} + x^4 - 3x\right) dx = F(-1) - F(-2) = \left(-\frac{67}{10}\right) - \left(-\frac{149}{10}\right) = \frac{-67 + 149}{10} = \frac{82}{10} = \frac{41}{5}$.

Ответ: $\frac{41}{5}$.

г)

Вычислим интеграл $\int_{5}^{8} \left(\frac{2}{(x-2)^2} - \frac{1}{\sqrt{x-4}}\right) dx$.

1. Перепишем подынтегральную функцию в виде: $f(x) = 2(x-2)^{-2} - (x-4)^{-1/2}$.

2. Найдем первообразную $F(x)$.

$F(x) = \int (2(x-2)^{-2} - (x-4)^{-1/2}) dx = 2 \cdot \frac{(x-2)^{-2+1}}{-2+1} - \frac{(x-4)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 2 \cdot \frac{(x-2)^{-1}}{-1} - \frac{(x-4)^{1/2}}{1/2} = -\frac{2}{x-2} - 2\sqrt{x-4}$.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

При $x=8$:
$F(8) = -\frac{2}{8-2} - 2\sqrt{8-4} = -\frac{2}{6} - 2\sqrt{4} = -\frac{1}{3} - 2 \cdot 2 = -\frac{1}{3} - 4 = -\frac{1}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{13}{3}$.

При $x=5$:
$F(5) = -\frac{2}{5-2} - 2\sqrt{5-4} = -\frac{2}{3} - 2\sqrt{1} = -\frac{2}{3} - 2 = -\frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{8}{3}$.

4. Вычислим значение интеграла.

$\int_{5}^{8} \left(\frac{2}{(x-2)^2} - \frac{1}{\sqrt{x-4}}\right) dx = F(8) - F(5) = \left(-\frac{13}{3}\right) - \left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{13}{3} + \frac{8}{3} = \frac{-13+8}{3} = -\frac{5}{3}$.

Ответ: $-\frac{5}{3}$.