Номер 20.43, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.43, страница 131.

Найдите неопределённый интеграл:

20.43. а) $\int (2 - 9x)^6 dx;$

б) $\int \frac{dx}{3 - 5x};$

в) $\int (7 + 5x)^{13} dx;$

г) $\int e^{0,5x + 2} dx.$

а) Найдем интеграл $\int (2 - 9x)^6 dx$.

Это интеграл от степенной функции, где в основании находится линейная функция. Для его решения удобно применить метод замены переменной (метод подстановки).

Введем новую переменную $t = 2 - 9x$.

Далее найдем дифференциал от обеих частей: $dt = d(2 - 9x)$. Производная $(2 - 9x)'$ равна $-9$, поэтому $dt = -9 dx$.

Из этого выражения выразим $dx$: $dx = -\frac{1}{9} dt$.

Теперь подставим $t$ и $dx$ в наш исходный интеграл:

$\int (2 - 9x)^6 dx = \int t^6 \left(-\frac{1}{9} dt\right)$.

Вынесем постоянный множитель $-\frac{1}{9}$ за знак интеграла:

$-\frac{1}{9} \int t^6 dt$.

Теперь мы можем применить табличную формулу интегрирования степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$-\frac{1}{9} \cdot \frac{t^{6+1}}{6+1} + C = -\frac{1}{9} \cdot \frac{t^7}{7} + C = -\frac{t^7}{63} + C$.

Последний шаг — вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 2 - 9x$:

$-\frac{(2 - 9x)^7}{63} + C$.

Ответ: $-\frac{(2 - 9x)^7}{63} + C$.

б) Найдем интеграл $\int \frac{dx}{3 - 5x}$.

Этот интеграл также решается методом замены переменной.

Пусть $t = 3 - 5x$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = (3 - 5x)' dx = -5 dx$.

Выразим отсюда $dx$: $dx = -\frac{1}{5} dt$.

Подставим полученные выражения в интеграл:

$\int \frac{dx}{3 - 5x} = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{1}{5} dt\right) = -\frac{1}{5} \int \frac{dt}{t}$.

Теперь воспользуемся табличным интегралом $\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C$:

$-\frac{1}{5} \ln|t| + C$.

Выполним обратную замену $t = 3 - 5x$, чтобы получить ответ в терминах переменной $x$:

$-\frac{1}{5} \ln|3 - 5x| + C$.

Ответ: $-\frac{1}{5} \ln|3 - 5x| + C$.

в) Найдем интеграл $\int (7 + 5x)^{13} dx$.

Задача аналогична пункту а). Используем метод замены переменной.

Пусть $t = 7 + 5x$.

Тогда дифференциал $dt = (7 + 5x)' dx = 5 dx$.

Отсюда следует, что $dx = \frac{1}{5} dt$.

Подставим эти выражения в исходный интеграл:

$\int (7 + 5x)^{13} dx = \int t^{13} \left(\frac{1}{5} dt\right) = \frac{1}{5} \int t^{13} dt$.

Применим формулу для интеграла от степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{t^{13+1}}{13+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{14}}{14} + C = \frac{t^{14}}{70} + C$.

Выполним обратную замену, подставив $t = 7 + 5x$:

$\frac{(7 + 5x)^{14}}{70} + C$.

Ответ: $\frac{(7 + 5x)^{14}}{70} + C$.

г) Найдем интеграл $\int e^{0.5x + 2} dx$.

Здесь мы имеем дело с интегралом от показательной функции со сложным аргументом. Применим метод замены переменной.

Пусть $t = 0.5x + 2$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = (0.5x + 2)' dx = 0.5 dx = \frac{1}{2} dx$.

Отсюда выразим $dx$: $dx = 2 dt$.

Подставим $t$ и $dx$ в интеграл:

$\int e^{0.5x + 2} dx = \int e^t (2 dt) = 2 \int e^t dt$.

Воспользуемся табличным интегралом от экспоненты $\int e^t dt = e^t + C$:

$2 e^t + C$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ с помощью обратной замены $t = 0.5x + 2$:

$2e^{0.5x + 2} + C$.

Ответ: $2e^{0.5x + 2} + C$.