Номер 20.40, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.40, страница 130.

20.40. Сравните числа $F(a)$ и $F(b)$, если известно, что $y = F(x)$ – первообразная для функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = x^2 \ln x$, $a = 2$, $b = 3$;

б) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x^3 - 27}$, $a = 0$, $b = 1$;

в) $f(x) = \sin^3 x$, $a = \frac{7\pi}{6}$, $b = \frac{4\pi}{3}$;

г) $f(x) = \sqrt[5]{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}$, $a = \lg 1001$, $b = \log_2 7$.

а)

По условию, $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, что означает $F'(x) = f(x)$. Чтобы сравнить значения $F(a)$ и $F(b)$, необходимо определить, является ли функция $F(x)$ возрастающей или убывающей на отрезке $[a, b]$. Это, в свою очередь, зависит от знака её производной $F'(x)$, то есть от знака функции $f(x)$ на этом отрезке.

В данном случае $f(x) = x^2 \ln x$, $a = 2$, $b = 3$. Мы рассматриваем отрезок $[2, 3]$.

Проанализируем знак функции $f(x)$ на отрезке $[2, 3]$:

• Множитель $x^2$ всегда положителен при $x \ne 0$. На отрезке $[2, 3]$ он строго положителен.
• Множитель $\ln x$ положителен при $x > 1$. На отрезке $[2, 3]$ он также строго положителен.

Поскольку оба множителя положительны на отрезке $[2, 3]$, их произведение $f(x) = x^2 \ln x$ также положительно на этом отрезке.

Так как $F'(x) = f(x) > 0$ на отрезке $[2, 3]$, функция $F(x)$ является возрастающей на этом отрезке. Для возрастающей функции, если $a < b$, то $F(a) < F(b)$.

Поскольку $a = 2 < b = 3$, мы заключаем, что $F(2) < F(3)$.

Ответ: $F(a) < F(b)$.

б)

Дано $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x^3 - 27}$, $a = 0$, $b = 1$. Мы исследуем знак $f(x)$ на отрезке $[0, 1]$.

Проанализируем знак числителя $x^2 - 6x + 8$. Корни этого квадратного трехчлена находятся из уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$, что дает $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, и положительна вне интервала между корнями. Так как отрезок $[0, 1]$ лежит левее корня $x_1=2$, числитель на этом отрезке положителен.

Проанализируем знак знаменателя $x^3 - 27$. Знаменатель обращается в ноль при $x = 3$. Для всех $x < 3$, знаменатель $x^3 - 27$ отрицателен. На отрезке $[0, 1]$ знаменатель отрицателен.

Таким образом, на отрезке $[0, 1]$ функция $f(x)$ представляет собой частное от деления положительного числителя на отрицательный знаменатель, следовательно, $f(x) < 0$.

Поскольку $F'(x) = f(x) < 0$ на отрезке $[0, 1]$, функция $F(x)$ является убывающей на этом отрезке. Для убывающей функции, если $a < b$, то $F(a) > F(b)$.

Поскольку $a = 0 < b = 1$, мы заключаем, что $F(0) > F(1)$.

Ответ: $F(a) > F(b)$.

в)

Дано $f(x) = \sin^3 x$, $a = \frac{7\pi}{6}$, $b = \frac{4\pi}{3}$.

Сначала сравним $a$ и $b$: $a = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ и $b = \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{2\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{3}$. Так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3}$, то $a < b$.

Рассмотрим отрезок $[\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}]$. Этот отрезок полностью находится в третьей координатной четверти (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$).

В третьей четверти синус любого угла отрицателен: $\sin x < 0$.

Следовательно, $f(x) = (\sin x)^3$ также будет отрицательна на всем отрезке $[\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}]$.

Поскольку $F'(x) = f(x) < 0$ на отрезке $[a, b]$, функция $F(x)$ является убывающей на этом отрезке. Для убывающей функции, если $a < b$, то $F(a) > F(b)$.

Так как $a < b$, мы заключаем, что $F(a) > F(b)$.

Ответ: $F(a) > F(b)$.

г)

Дано $f(x) = \sqrt[5]{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}$, $a = \lg 1001$, $b = \log_2 7$.

Сравним значения $a$ и $b$:

• $a = \lg 1001$. Мы знаем, что $\lg 1000 = 3$. Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, то $\lg 1001 > \lg 1000 = 3$.
• $b = \log_2 7$. Мы знаем, что $\log_2 4 = 2$ и $\log_2 8 = 3$. Так как логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, $2 < \log_2 7 < 3$.

Отсюда следует, что $b < 3 < a$, то есть $b < a$. Нам нужно исследовать знак $f(x)$ на отрезке $[b, a] = [\log_2 7, \lg 1001]$.

Знак функции $f(x)$ совпадает со знаком подкоренного выражения $g(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$, так как корень нечетной степени. Найдем корни многочлена $g(x)$. Проверяя делители свободного члена (-6), находим корни: $x_1=2$, $x_2=-1$, $x_3=-3$.

Таким образом, $g(x) = (x-2)(x+1)(x+3)$.

Нас интересует знак $g(x)$ на отрезке $[\log_2 7, \lg 1001]$. Поскольку $2 < \log_2 7 < 3$, любая точка $x$ на этом отрезке удовлетворяет условию $x > 2$.

Если $x > 2$, то все три множителя в разложении $g(x)$ положительны:

• $x - 2 > 0$
• $x + 1 > 0$
• $x + 3 > 0$

Произведение трех положительных множителей положительно, поэтому $g(x) > 0$ и, следовательно, $f(x) > 0$ на всем отрезке $[\log_2 7, \lg 1001]$.

Поскольку $F'(x) = f(x) > 0$ на отрезке $[b, a]$, функция $F(x)$ является возрастающей на этом отрезке. Для возрастающей функции, если $b < a$, то $F(b) < F(a)$.

Ответ: $F(a) > F(b)$.