Номер 20.35, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.35, страница 129.

20.35. Точка движется по координатной прямой, её скорость выражается формулой $v = 1 + 2t$. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 2$ координата точки равнялась числу 5.

Закон движения точки, то есть зависимость ее координаты $x$ от времени $t$, обозначается как $x(t)$. Скорость $v(t)$ является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Чтобы найти закон движения $x(t)$ по известной скорости $v(t)$, необходимо выполнить обратную операцию — найти первообразную (или, что то же самое, неопределенный интеграл) от функции скорости.

Дана функция скорости: $v(t) = 1 + 2t$.

Найдем общий вид закона движения $x(t)$ путем интегрирования функции $v(t)$:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (1 + 2t) dt = t + 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = t^2 + t + C$.

В этой формуле $C$ — это некоторая постоянная (константа интегрирования). Чтобы найти ее значение, воспользуемся условием, данным в задаче: в момент времени $t=2$ координата точки равнялась 5, то есть $x(2) = 5$.

Подставим значения $t=2$ и $x(2)=5$ в полученное уравнение:

$5 = (2)^2 + 2 + C$

$5 = 4 + 2 + C$

$5 = 6 + C$

Отсюда находим значение константы $C$:

$C = 5 - 6 = -1$.

Теперь подставим найденное значение $C = -1$ в общий вид закона движения, чтобы получить искомую формулу:

$x(t) = t^2 + t - 1$.

Ответ: $x(t) = t^2 + t - 1$.