Номер 20.28, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.28, страница 129.

Решите уравнение $F(x) = 0$, где $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, если известно, что $F(x_0) = 0$:

20.28. a) $f(x) = 3x^2 - 2x - 25$, $x_0 = 1$;

б) $f(x) = 3x^2 + 4x - 1$, $x_0 = -2$.

а)

По условию, $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$. Это значит, что $F(x) = \int f(x)dx$.
1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^2 - 2x - 25$:
$F(x) = \int (3x^2 - 2x - 25)dx = 3\frac{x^{2+1}}{2+1} - 2\frac{x^{1+1}}{1+1} - 25x + C = 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} - 25x + C = x^3 - x^2 - 25x + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя начальное условие $F(x_0) = 0$ при $x_0 = 1$:
$F(1) = 1^3 - 1^2 - 25(1) + C = 0$
$1 - 1 - 25 + C = 0$
$-25 + C = 0$
$C = 25$
Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^3 - x^2 - 25x + 25$.

3. Теперь решим уравнение $F(x) = 0$:
$x^3 - x^2 - 25x + 25 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) - (25x - 25) = 0$
$x^2(x - 1) - 25(x - 1) = 0$
$(x^2 - 25)(x - 1) = 0$
$(x - 5)(x + 5)(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $-5; 1; 5$.

б)

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^2 + 4x - 1$:
$F(x) = \int (3x^2 + 4x - 1)dx = 3\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + 2x^2 - x + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя начальное условие $F(x_0) = 0$ при $x_0 = -2$:
$F(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) + C = 0$
$-8 + 2(4) + 2 + C = 0$
$-8 + 8 + 2 + C = 0$
$2 + C = 0$
$C = -2$
Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$.

3. Теперь решим уравнение $F(x) = 0$:
$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 + 2x^2) - (x + 2) = 0$
$x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$
$(x^2 - 1)(x + 2) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Ответ: $-2; -1; 1$.