Номер 20.26, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.26, страница 128.

20.26. a) $f(x) = -2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$, $F\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -15$;

б) $f(x) = \sin x \cos 3x$, $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{5}{12}$;

в) $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}$, $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4,5$;

г) $f(x) = 4 \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2}$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} + 1$.

а)

Задана функция $f(x) = -2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ и условие $F(-\frac{2\pi}{3}) = -15$.

Сначала упростим функцию $f(x)$, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$f(x) = - (2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}) = -\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\sin(x)$.

Теперь найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = -\sin(x)$, вычислив интеграл:

$F(x) = \int (-\sin x) dx = -(-\cos x) + C = \cos x + C$, где $C$ — константа.

Используем заданное условие $F(-\frac{2\pi}{3}) = -15$, чтобы найти значение $C$.

$F(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + C = \cos(\frac{2\pi}{3}) + C = -\frac{1}{2} + C$.

$- \frac{1}{2} + C = -15$

$C = -15 + \frac{1}{2} = -\frac{30}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{29}{2} = -14,5$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \cos x - 14,5$.

Ответ: $F(x) = \cos x - 14,5$.

б)

Задана функция $f(x) = \sin x \cos 3x$ и условие $F(\frac{\pi}{3}) = \frac{5}{12}$.

Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму по формуле $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

$f(x) = \frac{1}{2}(\sin(x+3x) + \sin(x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(4x) + \sin(-2x)) = \frac{1}{2}\sin(4x) - \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (\frac{1}{2}\sin(4x) - \frac{1}{2}\sin(2x)) dx = \frac{1}{2} \int \sin(4x) dx - \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx$.

$F(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{4}\cos(4x)) - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\cos(2x)) + C = -\frac{1}{8}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{3}) = \frac{5}{12}$ для нахождения $C$.

$F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{8}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) + C = -\frac{1}{8}\cos(\frac{4\pi}{3}) + \frac{1}{4}\cos(\frac{2\pi}{3}) + C$.

Так как $\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{8}(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{4}(-\frac{1}{2}) + C = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} + C = -\frac{1}{16} + C$.

$-\frac{1}{16} + C = \frac{5}{12}$

$C = \frac{5}{12} + \frac{1}{16} = \frac{20}{48} + \frac{3}{48} = \frac{23}{48}$.

Искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{8}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + \frac{23}{48}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{8}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + \frac{23}{48}$.

в)

Задана функция $f(x) = \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}$ и условие $F(\frac{\pi}{2}) = 4,5$.

Упростим функцию $f(x)$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$f(x) = -(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos x$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (-\cos x) dx = -\sin x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{2}) = 4,5$ для нахождения $C$.

$F(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) + C = -1 + C$.

$-1 + C = 4,5$

$C = 4,5 + 1 = 5,5$.

Искомая первообразная:

$F(x) = -\sin x + 5,5$.

Ответ: $F(x) = -\sin x + 5,5$.

г)

Задана функция $f(x) = 4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}$ и условие $F(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + 1$.

Преобразуем произведение косинусов в сумму по формуле $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.

$f(x) = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}-\frac{3x}{2})) = 2(\cos(\frac{4x}{2}) + \cos(-\frac{2x}{2}))$.

$f(x) = 2(\cos(2x) + \cos(-x)) = 2\cos(2x) + 2\cos x$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (2\cos(2x) + 2\cos x) dx = 2\int\cos(2x)dx + 2\int\cos x dx$.

$F(x) = 2(\frac{1}{2}\sin(2x)) + 2\sin x + C = \sin(2x) + 2\sin x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + 1$ для нахождения $C$.

$F(\frac{\pi}{4}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 2\sin(\frac{\pi}{4}) + C = \sin(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{4}) + C$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$F(\frac{\pi}{4}) = 1 + 2(\frac{\sqrt{2}}{2}) + C = 1 + \sqrt{2} + C$.

$1 + \sqrt{2} + C = \sqrt{2} + 1$.

$C = 0$.

Искомая первообразная:

$F(x) = \sin(2x) + 2\sin x$.

Ответ: $F(x) = \sin(2x) + 2\sin x$.