Номер 20.27, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.27, страница 129.

20.27. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $y = F(x)$, которая принимает данное значение в указанной точке:

a) $f(x) = \frac{12}{\sqrt{3x - 6}} + 1, F(5) = 4;$

б) $f(x) = \frac{-3}{\sqrt{5x + 4}} - 8, F(1) = -12.$

а)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{12}{\sqrt{3x - 6}} + 1$, которая удовлетворяет условию $F(5) = 4$.

1. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \left(\frac{12}{\sqrt{3x - 6}} + 1\right) dx = \int 12(3x - 6)^{-\frac{1}{2}} dx + \int 1 dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Для первого интеграла воспользуемся формулой $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 12(3x - 6)^{-\frac{1}{2}} dx = 12 \int (3x - 6)^{-\frac{1}{2}} dx = 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 6)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 4 \cdot \frac{(3x - 6)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3x - 6}$.

Второй интеграл: $\int 1 dx = x$.

Сложив результаты и добавив константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = 8\sqrt{3x - 6} + x + C$.

2. Теперь используем данное условие $F(5) = 4$, чтобы найти значение константы $C$. Подставим $x=5$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(5) = 8\sqrt{3 \cdot 5 - 6} + 5 + C = 4$.

$8\sqrt{15 - 6} + 5 + C = 4$.

$8\sqrt{9} + 5 + C = 4$.

$8 \cdot 3 + 5 + C = 4$.

$24 + 5 + C = 4$.

$29 + C = 4$.

$C = 4 - 29 = -25$.

3. Подставим найденное значение $C = -25$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию.

Ответ: $F(x) = 8\sqrt{3x - 6} + x - 25$.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{-3}{\sqrt{5x + 4}} - 8$, которая удовлетворяет условию $F(1) = -12$.

1. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \left(\frac{-3}{\sqrt{5x + 4}} - 8\right) dx = \int -3(5x + 4)^{-\frac{1}{2}} dx - \int 8 dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

$\int -3(5x + 4)^{-\frac{1}{2}} dx = -3 \int (5x + 4)^{-\frac{1}{2}} dx = -3 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x + 4)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{(5x + 4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -\frac{6}{5}\sqrt{5x + 4}$.

Второй интеграл: $\int -8 dx = -8x$.

Сложив результаты и добавив константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{6}{5}\sqrt{5x + 4} - 8x + C$.

2. Теперь используем данное условие $F(1) = -12$, чтобы найти значение константы $C$. Подставим $x=1$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(1) = -\frac{6}{5}\sqrt{5 \cdot 1 + 4} - 8 \cdot 1 + C = -12$.

$-\frac{6}{5}\sqrt{9} - 8 + C = -12$.

$-\frac{6}{5} \cdot 3 - 8 + C = -12$.

$-\frac{18}{5} - 8 + C = -12$.

$-3.6 - 8 + C = -12$.

$-11.6 + C = -12$.

$C = -12 + 11.6 = -0.4 = -\frac{2}{5}$.

3. Подставим найденное значение $C = -\frac{2}{5}$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию.

Ответ: $F(x) = -\frac{6}{5}\sqrt{5x + 4} - 8x - \frac{2}{5}$.