Номер 20.22, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.22, страница 127.

20.22. a) $y = 8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}, M\left(\frac{\pi}{2}; 3\right)$;

б) $y = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1, M\left(\frac{\pi}{2}; 16\right)$;

в) $y = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}, M(0; 7)$;

г) $y = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}, M\left(\frac{\pi}{2}; 15\right)$.

а) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $M(\frac{\pi}{2}; 3)$ графику функции $y = 8 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$, подставим координаты точки в уравнение функции.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$y = 8 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 4 \cdot (2 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}) = 4\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 4\sin x$.

Теперь подставим абсциссу точки $M$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$, в полученное уравнение функции:

$y = 4\sin(\frac{\pi}{2}) = 4 \cdot 1 = 4$.

Полученное значение $y=4$ не равно ординате точки $M$, которая равна 3. Так как $4 \neq 3$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

б) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $M(\frac{\pi}{2}; 16)$ графику функции $y = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$, подставим координаты точки в уравнение функции.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:

$y = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

Теперь подставим абсциссу точки $M$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$, в полученное уравнение функции:

$y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Полученное значение $y=0$ не равно ординате точки $M$, которая равна 16. Так как $0 \neq 16$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $M(0; 7)$ графику функции $y = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$, подставим координаты точки в уравнение функции.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$y = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

Теперь подставим абсциссу точки $M$, то есть $x = 0$, в полученное уравнение функции:

$y = \cos(0) = 1$.

Полученное значение $y=1$ не равно ординате точки $M$, которая равна 7. Так как $1 \neq 7$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $M(\frac{\pi}{2}; 15)$ графику функции $y = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$, подставим координаты точки в уравнение функции.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$y = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

Теперь подставим абсциссу точки $M$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$, в полученное уравнение функции:

$y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Полученное значение $y=0$ не равно ординате точки $M$, которая равна 15. Так как $0 \neq 15$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.