Номер 20.15, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.15, страница 126.

20.15. a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x - 9}}$;

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3x}}$.

а)

Область определения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x - 9}}$ задается условием, при котором выражение, стоящее в знаменателе под знаком квадратного корня, должно быть строго больше нуля. Это связано с двумя ограничениями: во-первых, подкоренное выражение не может быть отрицательным ($7x - 9 \ge 0$), а во-вторых, знаменатель не может быть равен нулю ($\sqrt{7x - 9} \ne 0$). Объединение этих условий дает одно строгое неравенство.

Решим это неравенство:
$7x - 9 > 0$
Перенесем -9 в правую часть с противоположным знаком:
$7x > 9$
Разделим обе части на 7:
$x > \frac{9}{7}$

Таким образом, область определения функции — это числовой промежуток $(\frac{9}{7}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{9}{7}; +\infty)$.

б)

Аналогично, для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3x}}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение в знаменателе было строго положительным.

Составим и решим соответствующее неравенство:
$42 - 3x > 0$
Перенесем 42 в правую часть:
$-3x > -42$
Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-42}{-3}$
$x < 14$

Следовательно, область определения функции — это числовой промежуток $(-\infty; 14)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 14)$.