Номер 20.11, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.11, страница 126.

Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную:

20.11. a) $f(x) = x^2 + x^{16}$;

б) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^2}$;

в) $f(x) = x^{13} + x^{18}$;

г) $f(x) = \frac{4}{\sqrt[4]{x}} - \frac{2}{x\sqrt{x}}$.

а) Дана функция $f(x) = x^2 + x^{16}$.

Чтобы найти первообразную $F(x)$, мы используем основное правило интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и правило, согласно которому первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Найдём первообразную для каждого слагаемого функции по отдельности:

1. Первообразная для $x^2$ вычисляется как $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

2. Первообразная для $x^{16}$ вычисляется как $\int x^{16} dx = \frac{x^{16+1}}{16+1} = \frac{x^{17}}{17}$.

Теперь сложим полученные результаты и добавим произвольную постоянную $C$, так как производная константы равна нулю.

Таким образом, общая первообразная для $f(x)$ имеет вид: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + C$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^2}$.

Для нахождения первообразной сначала преобразуем функцию, представив все члены в виде степеней с рациональными показателями. Используем свойства: $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ и $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$.

$f(x) = \frac{1}{2x^{1/3}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2}x^{-1/3} - x^{-2}$.

Теперь найдём первообразную для каждого слагаемого, используя то же правило интегрирования степенной функции.

1. Для первого слагаемого $\frac{1}{2}x^{-1/3}$:

$\int \frac{1}{2}x^{-1/3} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}x^{2/3} = \frac{3}{4}x^{2/3}$.

2. Для второго слагаемого $-x^{-2}$:

$\int (-x^{-2}) dx = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = - \frac{x^{-1}}{-1} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Суммируя результаты и добавляя константу $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = \frac{3}{4}x^{2/3} + \frac{1}{x} + C$.

Результат также можно записать в виде с корнями: $F(x) = \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{x} + C$.

в) Дана функция $f(x) = x^{13} + x^{18}$.

Решение аналогично пункту а). Находим первообразную для суммы двух степенных функций.

1. Первообразная для $x^{13}$ равна $\int x^{13} dx = \frac{x^{13+1}}{13+1} = \frac{x^{14}}{14}$.

2. Первообразная для $x^{18}$ равна $\int x^{18} dx = \frac{x^{18+1}}{18+1} = \frac{x^{19}}{19}$.

Складываем полученные первообразные и добавляем константу интегрирования $C$.

Общая первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ будет: $F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + C$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{4}{\sqrt[4]{x}} - \frac{2}{x\sqrt{x}}$.

Сначала преобразуем функцию к виду, удобному для интегрирования, используя свойства степеней.

Первое слагаемое: $\frac{4}{\sqrt[4]{x}} = \frac{4}{x^{1/4}} = 4x^{-1/4}$.

Второе слагаемое: $\frac{2}{x\sqrt{x}} = \frac{2}{x^1 \cdot x^{1/2}} = \frac{2}{x^{3/2}} = 2x^{-3/2}$.

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = 4x^{-1/4} - 2x^{-3/2}$.

Находим первообразную для каждого слагаемого.

1. Для первого слагаемого $4x^{-1/4}$:

$\int 4x^{-1/4} dx = 4 \cdot \frac{x^{-1/4 + 1}}{-1/4 + 1} = 4 \cdot \frac{x^{3/4}}{3/4} = 4 \cdot \frac{4}{3}x^{3/4} = \frac{16}{3}x^{3/4}$.

2. Для второго слагаемого $-2x^{-3/2}$:

$\int (-2x^{-3/2}) dx = -2 \cdot \frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} = -2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = 4x^{-1/2}$.

Суммируем результаты и добавляем константу $C$:

$F(x) = \frac{16}{3}x^{3/4} + 4x^{-1/2} + C$.

Запишем ответ, используя корни и дроби:

$F(x) = \frac{16}{3}\sqrt[4]{x^3} + \frac{4}{\sqrt{x}} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{16}{3}\sqrt[4]{x^3} + \frac{4}{\sqrt{x}} + C$.