Номер 20.4, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.4, страница 124.

20.4. a) $F(x) = \cos \left(4x - \frac{\pi}{9}\right) + 26$, $f(x) = -4 \sin \left(4x - \frac{\pi}{9}\right)$;

б) $F(x) = \sin^3 x - 3$, $f(x) = 3 \sin^2 x \cos x$;

в) $F(x) = \sqrt{x^2 + 3x - \frac{6}{x}}$, $f(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} + \frac{6}{x^2}$;

г) $F(x) = \sqrt{5x^4 + 9x^2} + \sqrt{x}$, $f(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

а) Даны функции $F(x) = \cos(4x - \frac{\pi}{9}) + 26$ и $f(x) = -4 \sin(4x - \frac{\pi}{9})$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\cos(4x - \frac{\pi}{9}) + 26)' = (\cos(4x - \frac{\pi}{9}))' + (26)'$.

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. В нашем случае $u = 4x - \frac{\pi}{9}$, и ее производная $u' = 4$. Производная константы 26 равна 0.

Получаем: $F'(x) = -\sin(4x - \frac{\pi}{9}) \cdot 4 + 0 = -4 \sin(4x - \frac{\pi}{9})$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

б) Даны функции $F(x) = \sin^3 x - 3$ и $f(x) = 3 \sin^2 x \cos x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sin^3 x - 3)' = (\sin^3 x)' - (3)'$.

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции (степенной функции): $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$. В нашем случае $u = \sin x$, $n=3$, и производная $u' = \cos x$. Производная константы 3 равна 0.

Получаем: $F'(x) = 3 \sin^{3-1} x \cdot (\sin x)' - 0 = 3 \sin^2 x \cdot \cos x$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

в) Даны функции $F(x) = \sqrt{x^2 + 3x} - \frac{6}{x}$ и $f(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} + \frac{6}{x^2}$.

Найдем производную функции $F(x)$, дифференцируя каждое слагаемое отдельно:

$F'(x) = (\sqrt{x^2 + 3x})' - (\frac{6}{x})'$.

Производная первого слагаемого (сложная функция): $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$. Здесь $u = x^2 + 3x$, $u' = 2x+3$.

$(\sqrt{x^2 + 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \cdot (2x+3) = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}}$.

Производная второго слагаемого (степенная функция): $(\frac{6}{x})' = (6x^{-1})' = 6 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{6}{x^2}$.

Объединяем результаты: $F'(x) = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}} - (-\frac{6}{x^2}) = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}} + \frac{6}{x^2}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

г) Даны функции $F(x) = \sqrt{5x^4 + 9x^2} + \sqrt{x}$ и $f(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную функции $F(x)$, дифференцируя каждое слагаемое отдельно:

$F'(x) = (\sqrt{5x^4 + 9x^2})' + (\sqrt{x})'$.

Производная первого слагаемого (сложная функция): $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Здесь $u = 5x^4 + 9x^2$, $u' = 20x^3 + 18x$.

$(\sqrt{5x^4 + 9x^2})' = \frac{20x^3 + 18x}{2\sqrt{5x^4 + 9x^2}} = \frac{2(10x^3 + 9x)}{2\sqrt{5x^4 + 9x^2}} = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}}$.

Производная второго слагаемого: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Объединяем результаты: $F'(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.