Номер 20.1, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.1, страница 123.

Докажите, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$:

20.1. a) $F(x) = x^2 + x^3 + 3 \sin x + 1$,
$f(x) = 2x + 3x^2 + 3 \cos x;$

б) $F(x) = x^{11} + x^4 - 3 - 4 \cos x$,
$f(x) = 11x^{10} + 4x^3 + 4 \sin x;$

в) $F(x) = 7\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$, $f(x) = \frac{\sqrt[14]{x^9} - 1}{x\sqrt{x}};$

г) $F(x) = e^{x^2 - 3x}$, $f(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}.$

Для того чтобы доказать, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что она равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

а)

Найдём производную функции $F(x) = x^2 + x^3 + 3 \sin x + 1$.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, получаем:

$F'(x) = (x^2 + x^3 + 3 \sin x + 1)' = (x^2)' + (x^3)' + (3 \sin x)' + (1)'$

$F'(x) = 2x + 3x^2 + 3 \cos x + 0 = 2x + 3x^2 + 3 \cos x$.

Сравним полученную производную с данной функцией $f(x) = 2x + 3x^2 + 3 \cos x$.

Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

б)

Найдём производную функции $F(x) = x^{11} + x^4 - 3 - 4 \cos x$.

Применяя правила дифференцирования:

$F'(x) = (x^{11} + x^4 - 3 - 4 \cos x)' = (x^{11})' + (x^4)' - (3)' - (4 \cos x)'$

$F'(x) = 11x^{10} + 4x^3 - 0 - 4(-\sin x) = 11x^{10} + 4x^3 + 4 \sin x$.

Сравним результат с функцией $f(x) = 11x^{10} + 4x^3 + 4 \sin x$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

в)

Чтобы найти производную функции $F(x) = 7\sqrt[7]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$, представим её в виде степенных функций:

$F(x) = 7x^{1/7} + 2x^{-1/2}$.

Найдём производную, используя правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (7x^{1/7} + 2x^{-1/2})' = 7 \cdot \frac{1}{7}x^{1/7 - 1} + 2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = x^{-6/7} - x^{-3/2}$.

Теперь преобразуем данную функцию $f(x) = \frac{\sqrt[14]{x^9} - 1}{x\sqrt{x}}$ к такому же виду. Сначала запишем ее через степени:

$f(x) = \frac{x^{9/14} - 1}{x^1 \cdot x^{1/2}} = \frac{x^{9/14} - 1}{x^{3/2}}$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$f(x) = \frac{x^{9/14}}{x^{3/2}} - \frac{1}{x^{3/2}} = x^{9/14 - 3/2} - x^{-3/2}$.

Приведем степени к общему знаменателю 14: $3/2 = 21/14$.

$f(x) = x^{9/14 - 21/14} - x^{-3/2} = x^{-12/14} - x^{-3/2} = x^{-6/7} - x^{-3/2}$.

Таким образом, мы получили, что $F'(x) = x^{-6/7} - x^{-3/2}$ и $f(x) = x^{-6/7} - x^{-3/2}$.

Ответ: Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

г)

Найдём производную функции $F(x) = e^{x^2 - 3x}$.

Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

В данном случае $u(x) = x^2 - 3x$, а её производная $u'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$.

Тогда производная функции $F(x)$ равна:

$F'(x) = e^{x^2 - 3x} \cdot (x^2 - 3x)' = e^{x^2 - 3x} \cdot (2x - 3) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$.

Сравним результат с функцией $f(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.