Номер 20.3, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.3, страница 123.

20.3. а) $F(x) = 4\sqrt{x} + \tan x$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\cos^2 x}$;

б) $F(x) = 3 \cot x - \sqrt{x}$, $f(x) = - \frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

в) $F(x) = \ln (2x - 1) - \frac{1}{2x - 1}$, $f(x) = \frac{4x}{(2x - 1)^2}$;

г) $F(x) = \frac{5}{3} \sqrt[5]{\sin^3 x}$, $f(x) = \frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}$.

Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$, то утверждение верно.

а) Даны функции $F(x) = 4\sqrt{x} + \operatorname{tg} x$ и $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\cos^2 x}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (4\sqrt{x} + \operatorname{tg} x)' = (4x^{1/2})' + (\operatorname{tg} x)'$

Используем правила дифференцирования:

$(4x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Складываем полученные производные:

$F'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\cos^2 x}$

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

б) Даны функции $F(x) = 3 \operatorname{ctg} x - \sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3 \operatorname{ctg} x - \sqrt{x})' = (3 \operatorname{ctg} x)' - (x^{1/2})'$

Используем правила дифференцирования:

$(3 \operatorname{ctg} x)' = 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{3}{\sin^2 x}$

$(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Выполняем вычитание:

$F'(x) = -\frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

в) Даны функции $F(x) = \ln(2x-1) - \frac{1}{2x-1}$ и $f(x) = \frac{4x}{(2x-1)^2}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\ln(2x-1) - (2x-1)^{-1})'$

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$(\ln(2x-1))' = \frac{1}{2x-1} \cdot (2x-1)' = \frac{2}{2x-1}$

$(-(2x-1)^{-1})' = -(-1)(2x-1)^{-2} \cdot (2x-1)' = (2x-1)^{-2} \cdot 2 = \frac{2}{(2x-1)^2}$

Складываем полученные производные:

$F'(x) = \frac{2}{2x-1} + \frac{2}{(2x-1)^2}$

Приводим к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{2(2x-1)}{(2x-1)^2} + \frac{2}{(2x-1)^2} = \frac{4x-2+2}{(2x-1)^2} = \frac{4x}{(2x-1)^2}$

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

г) Даны функции $F(x) = \frac{5}{3}\sqrt[5]{\sin^3 x}$ и $f(x) = \frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}$.

Представим $F(x)$ в виде степени: $F(x) = \frac{5}{3}(\sin x)^{3/5}$.

Найдем производную функции $F(x)$ используя цепное правило:

$F'(x) = \left(\frac{5}{3}(\sin x)^{3/5}\right)' = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}(\sin x)^{3/5 - 1} \cdot (\sin x)'$

$F'(x) = 1 \cdot (\sin x)^{-2/5} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{(\sin x)^{2/5}}$

Перепишем результат в виде корня:

$F'(x) = \frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}$

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.