Номер 20.8, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.8, страница 125.

20.8. a) $F(x) = |x|(x^3 - 4)$, $f(x) = -4x^3 - 4$, $X = (-\infty; 0)$

б) $F(x) = |3x - 7| + |x + 2| - x^2$, $f(x) = -2x + 4$, $X = (3; +\infty)$

а)

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $X$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $F(x) = |x|(x^3 - 4)$ на промежутке $X = (-\infty; 0)$.

На данном промежутке $x < 0$. Согласно определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$.

Таким образом, на промежутке $(-\infty; 0)$ функцию $F(x)$ можно записать без знака модуля:

$F(x) = -x(x^3 - 4)$

Раскроем скобки:

$F(x) = -x^4 + 4x$

Теперь найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (-x^4 + 4x)' = -(x^4)' + (4x)' = -4x^3 + 4$

Сравним полученный результат с функцией $f(x) = -4x^3 - 4$.

Мы получили, что $F'(x) = -4x^3 + 4$, а по условию $f(x) = -4x^3 - 4$.

Поскольку $-4x^3 + 4 \neq -4x^3 - 4$, равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется.

Ответ: Функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

б)

Рассмотрим функцию $F(x) = |3x - 7| + |x + 2| - x^2$ на промежутке $X = (3; +\infty)$.

Чтобы найти производную, сначала раскроем модули на заданном промежутке.

1. Для модуля $|3x - 7|$: так как $x \in (3; +\infty)$, то $x > 3$. Отсюда следует, что $3x > 9$, а $3x - 7 > 9 - 7 = 2$. Поскольку выражение под модулем положительно ($3x-7 > 0$), то $|3x - 7| = 3x - 7$.

2. Для модуля $|x + 2|$: так как $x > 3$, то $x + 2 > 3 + 2 = 5$. Выражение под модулем также положительно ($x+2 > 0$), поэтому $|x + 2| = x + 2$.

Теперь подставим раскрытые модули в выражение для $F(x)$:

$F(x) = (3x - 7) + (x + 2) - x^2$

Упростим это выражение:

$F(x) = 3x - 7 + x + 2 - x^2 = -x^2 + 4x - 5$

Теперь найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (-x^2 + 4x - 5)' = -(x^2)' + (4x)' - (5)' = -2x + 4 - 0 = -2x + 4$

Сравним полученный результат с функцией $f(x) = -2x + 4$.

Мы получили, что $F'(x) = -2x + 4$, что в точности совпадает с функцией $f(x)$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из промежутка $(3; +\infty)$.

Ответ: Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.