Номер 20.12, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.12, страница 126.

20.12. a) $f(x) = -3 \sin x + 2 \cos x;$

б) $f(x) = \frac{4}{\sin^2 x} - \frac{9}{\cos^2 x};$

в) $f(x) = -4 \cos x + \frac{2}{\sin^2 x};$

г) $f(x) = -13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = -3 \sin x + 2 \cos x$ необходимо найти ее интеграл. Первообразная $F(x)$ является общим видом для всех функций, производная которых равна $f(x)$.

Воспользуемся правилом интегрирования суммы и свойством вынесения константы за знак интеграла:

$F(x) = \int (-3 \sin x + 2 \cos x) dx = \int (-3 \sin x) dx + \int (2 \cos x) dx = -3 \int \sin x dx + 2 \int \cos x dx$.

Используя табличные интегралы для тригонометрических функций, где $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \cos x dx = \sin x + C$, получаем:

$F(x) = -3(-\cos x) + 2(\sin x) + C = 3 \cos x + 2 \sin x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = 3 \cos x + 2 \sin x + C$.

б) Для функции $f(x) = \frac{4}{\sin^2 x} - \frac{9}{\cos^2 x}$ находим первообразную $F(x)$ путем интегрирования.

Применяя правила интегрирования, получаем:

$F(x) = \int \left(\frac{4}{\sin^2 x} - \frac{9}{\cos^2 x}\right) dx = 4 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx - 9 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$, находим:

$F(x) = 4(-\cot x) - 9(\tan x) + C = -4 \cot x - 9 \tan x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = -4 \cot x - 9 \tan x + C$.

в) Найдем первообразную для функции $f(x) = -4 \cos x + \frac{2}{\sin^2 x}$.

Первообразная $F(x)$ вычисляется как интеграл от данной функции:

$F(x) = \int \left(-4 \cos x + \frac{2}{\sin^2 x}\right) dx = -4 \int \cos x dx + 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Применяя табличные интегралы $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$, находим:

$F(x) = -4(\sin x) + 2(-\cot x) + C = -4 \sin x - 2 \cot x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = -4 \sin x - 2 \cot x + C$.

г) Найдем первообразную для функции $f(x) = -13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}$.

Интегрируем функцию $f(x)$ для нахождения первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int \left(-13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}\right) dx = -13 \int \sin x dx + 5 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Используем табличные значения интегралов $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$:

$F(x) = -13(-\cos x) + 5(\tan x) + C = 13 \cos x + 5 \tan x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = 13 \cos x + 5 \tan x + C$.