Номер 20.7, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.7, страница 125.

Установите, является ли функция $y = F(x)$ первообразной для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$:

20.7. а) $F(x) = 3 \cos x - x^6$, $f(x) = -3 \sin x - 6x^5$, $X = R$;

б) $F(x) = -4 \sin x + \frac{2}{x^3}$, $f(x) = 4 \cos x - \frac{6}{x^2}$, $X = (0; +\infty)$;

в) $F(x) = 2\sqrt{x} - \frac{4}{(3x + 1)^4}$,

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{16}{(3x + 1)^5}$, $X = (0; +\infty)$;

г) $F(x) = \frac{13}{x^2} - 2 \sin (4x + 5)$,

$f(x) = \frac{26}{x} - 2 \cos (4x + 5)$, $X = (-\infty; 0)$.

Для того чтобы определить, является ли функция $y = F(x)$ первообразной для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $X$.

а)

Даны функции $F(x) = 3 \cos x - x^6$ и $f(x) = -3 \sin x - 6x^5$ на промежутке $X = \mathbb{R}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3 \cos x - x^6)' = (3 \cos x)' - (x^6)'$

Используя правила дифференцирования $(\cos x)' = -\sin x$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = 3(-\sin x) - 6x^5 = -3 \sin x - 6x^5$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -3 \sin x - 6x^5$

$f(x) = -3 \sin x - 6x^5$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: да, является.

б)

Даны функции $F(x) = -4 \sin x + \frac{2}{x^3}$ и $f(x) = 4 \cos x - \frac{6}{x^2}$ на промежутке $X = (0; +\infty)$.

Представим $F(x)$ в виде $F(x) = -4 \sin x + 2x^{-3}$ и найдем ее производную:

$F'(x) = (-4 \sin x + 2x^{-3})' = (-4 \sin x)' + (2x^{-3})'$

Используя правила дифференцирования $(\sin x)' = \cos x$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = -4 \cos x + 2(-3)x^{-3-1} = -4 \cos x - 6x^{-4} = -4 \cos x - \frac{6}{x^4}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -4 \cos x - \frac{6}{x^4}$

$f(x) = 4 \cos x - \frac{6}{x^2}$

Так как $F'(x) \neq f(x)$, то функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: нет, не является.

в)

Даны функции $F(x) = 2\sqrt{x} - \frac{4}{(3x + 1)^4}$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{16}{(3x + 1)^5}$ на промежутке $X = (0; +\infty)$.

Представим $F(x)$ в виде $F(x) = 2x^{1/2} - 4(3x + 1)^{-4}$ и найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (2x^{1/2} - 4(3x+1)^{-4})' = (2x^{1/2})' - (4(3x+1)^{-4})'$

$F'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 4 \cdot (-4)(3x+1)^{-4-1} \cdot (3x+1)'$

$F'(x) = x^{-1/2} + 16(3x+1)^{-5} \cdot 3 = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{48}{(3x+1)^5}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{48}{(3x+1)^5}$

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{16}{(3x+1)^5}$

Так как $F'(x) \neq f(x)$, то функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: нет, не является.

г)

Даны функции $F(x) = \frac{13}{x^2} - 2 \sin(4x + 5)$ и $f(x) = \frac{26}{x} - 2 \cos(4x + 5)$ на промежутке $X = (-\infty; 0)$.

Представим $F(x)$ в виде $F(x) = 13x^{-2} - 2 \sin(4x + 5)$ и найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (13x^{-2} - 2 \sin(4x + 5))' = (13x^{-2})' - (2 \sin(4x + 5))'$

$F'(x) = 13(-2)x^{-2-1} - 2 \cos(4x+5) \cdot (4x+5)'$

$F'(x) = -26x^{-3} - 2 \cos(4x+5) \cdot 4 = -\frac{26}{x^3} - 8 \cos(4x+5)$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{26}{x^3} - 8 \cos(4x+5)$

$f(x) = \frac{26}{x} - 2 \cos(4x+5)$

Так как $F'(x) \neq f(x)$, то функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: нет, не является.