Номер 20.2, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.2, страница 123.

20.2. a) $F(x) = -\frac{3}{x} + \frac{x^3}{3}$, $f(x) = \frac{3}{x^2} + x^2$;

б) $F(x) = \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{2x}$, $f(x) = 8x^3 - 4,5x^2 + x + \frac{1}{2x^2}$;

в) $F(x) = \frac{5}{x} - \frac{x^5}{5}$, $f(x) = -\frac{5}{x^2} - x^4$;

г) $F(x) = \frac{5x^7 - 4x^5 + 2x}{x^2}$, $f(x) = 25x^4 - 12x^2 - \frac{2}{x^2}$.

Чтобы определить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $F'(x) = f(x)$.

а) Даны функции $F(x) = -\frac{3}{x} + \frac{x^3}{3}$ и $f(x) = \frac{3}{x^2} + x^2$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для удобства перепишем $F(x)$ в виде $F(x) = -3x^{-1} + \frac{1}{3}x^3$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = (-3x^{-1} + \frac{1}{3}x^3)' = (-3)(-1)x^{-1-1} + \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = 3x^{-2} + x^2 = \frac{3}{x^2} + x^2$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

б) Даны функции $F(x) = \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{2x}$ и $f(x) = 8x^3 - 4,5x^2 + x + \frac{1}{2x^2}$.

Сначала упростим выражение для $F(x)$, разделив почленно числитель на знаменатель:

$F(x) = \frac{4x^5}{2x} - \frac{3x^4}{2x} + \frac{x^3}{2x} - \frac{1}{2x} = 2x^4 - \frac{3}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^{-1}$.

Теперь найдем производную $F'(x)$:

$F'(x) = (2x^4 - 1,5x^3 + 0,5x^2 - 0,5x^{-1})' = 2 \cdot 4x^3 - 1,5 \cdot 3x^2 + 0,5 \cdot 2x^1 - 0,5 \cdot (-1)x^{-2} = 8x^3 - 4,5x^2 + x + 0,5x^{-2} = 8x^3 - 4,5x^2 + x + \frac{1}{2x^2}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

в) Даны функции $F(x) = \frac{5}{x} - \frac{x^5}{5}$ и $f(x) = -\frac{5}{x^2} - x^4$.

Найдем производную функции $F(x)$. Перепишем $F(x)$ в виде $F(x) = 5x^{-1} - \frac{1}{5}x^5$.

Дифференцируем $F(x)$:

$F'(x) = (5x^{-1} - \frac{1}{5}x^5)' = 5(-1)x^{-1-1} - \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} = -5x^{-2} - x^4 = -\frac{5}{x^2} - x^4$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

г) Даны функции $F(x) = \frac{5x^7 - 4x^5 + 2x}{x^2}$ и $f(x) = 25x^4 - 12x^2 - \frac{2}{x^2}$.

Упростим выражение для $F(x)$:

$F(x) = \frac{5x^7}{x^2} - \frac{4x^5}{x^2} + \frac{2x}{x^2} = 5x^5 - 4x^3 + 2x^{-1}$.

Найдем производную $F'(x)$:

$F'(x) = (5x^5 - 4x^3 + 2x^{-1})' = 5 \cdot 5x^{5-1} - 4 \cdot 3x^{3-1} + 2(-1)x^{-1-1} = 25x^4 - 12x^2 - 2x^{-2} = 25x^4 - 12x^2 - \frac{2}{x^2}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.