Номер 19.45, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.45, страница 122.

19.45. На графике функции $y = x - \ln (2x - 5)$ выбирают произвольную точку $M$ и соединяют с началом координат $O$. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок $OM$, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.

Пусть точка $M$, выбранная на графике функции $y = x - \ln(2x - 5)$, имеет координаты $(x, y)$. Начало координат — точка $O(0, 0)$. Прямоугольник, диагональю которого является отрезок $OM$, а две стороны расположены на осях координат, имеет вершины в точках $O(0,0)$, $A(x,0)$, $M(x,y)$ и $C(0,y)$. Длины сторон этого прямоугольника равны $|x|$ и $|y|$.

Найдем область определения данной функции. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $2x - 5 > 0 \implies 2x > 5 \implies x > 2.5$. Следовательно, абсцисса $x$ любой точки на графике всегда положительна, поэтому $|x| = x$.

Теперь исследуем знак ординаты $y = x - \ln(2x - 5)$. Для этого найдем ее производную и точки экстремума: $y'(x) = (x - \ln(2x - 5))' = 1 - \frac{1}{2x-5} \cdot (2x-5)' = 1 - \frac{2}{2x-5} = \frac{2x-5-2}{2x-5} = \frac{2x-7}{2x-5}$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $y'(x) = 0 \implies \frac{2x-7}{2x-5} = 0 \implies 2x-7 = 0 \implies x = 3.5$. Точка $x=3.5$ принадлежит области определения $(2.5, +\infty)$. При $2.5 < x < 3.5$ производная $y'(x) < 0$ (функция убывает), а при $x > 3.5$ производная $y'(x) > 0$ (функция возрастает). Следовательно, в точке $x = 3.5$ функция $y(x)$ достигает своего минимума.

Найдем минимальное значение функции: $y_{min} = y(3.5) = 3.5 - \ln(2 \cdot 3.5 - 5) = 3.5 - \ln(7 - 5) = 3.5 - \ln(2)$. Поскольку $e \approx 2.718$, то $\ln(2) < \ln(e) = 1$. Значит, $y_{min} = 3.5 - \ln(2) > 0$. Так как минимальное значение функции положительно, то и все остальные ее значения на области определения также положительны. Таким образом, $y > 0$, и $|y| = y$.

Периметр $P$ прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ равен $P = 2(x + y)$. Выразим периметр как функцию от $x$: $P(x) = 2(x + (x - \ln(2x - 5))) = 2(2x - \ln(2x - 5)) = 4x - 2\ln(2x - 5)$.

Для нахождения наименьшего значения периметра найдем минимум функции $P(x)$. Вычислим ее производную: $P'(x) = (4x - 2\ln(2x - 5))' = 4 - 2 \cdot \frac{1}{2x - 5} \cdot 2 = 4 - \frac{4}{2x - 5} = 4\left(1 - \frac{1}{2x - 5}\right) = 4\left(\frac{2x - 5 - 1}{2x - 5}\right) = \frac{4(2x - 6)}{2x - 5}$.

Приравняем производную $P'(x)$ к нулю: $\frac{4(2x - 6)}{2x - 5} = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies x = 3$. Эта точка принадлежит области определения $(2.5, +\infty)$. При $2.5 < x < 3$ производная $P'(x) < 0$, функция $P(x)$ убывает. При $x > 3$ производная $P'(x) > 0$, функция $P(x)$ возрастает. Следовательно, при $x=3$ функция периметра достигает своего наименьшего значения.

Вычислим это наименьшее значение периметра: $P_{min} = P(3) = 4 \cdot 3 - 2\ln(2 \cdot 3 - 5) = 12 - 2\ln(6 - 5) = 12 - 2\ln(1)$. Так как $\ln(1) = 0$, получаем: $P_{min} = 12 - 2 \cdot 0 = 12$.

Ответ: 12.