Номер 19.39, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.39, страница 122.

Найдите наименьшее и наибольшее значение заданной функции на указанном промежутке:

19.39. a) $y = x + \ln(-x)$, $[-4; -0,5];$

б) $y = x + e^{-x}$, $[-\ln 4; \ln 2].$

а)

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = x + \ln(-x)$ на промежутке $[-4; -0,5]$, воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Находим производную функции.
2. Находим критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует) и проверяем, принадлежат ли они заданному промежутку.
3. Вычисляем значения функции в критических точках, принадлежащих промежутку, и на концах промежутка.
4. Сравниваем полученные значения и выбираем из них наименьшее и наибольшее.

1. Найдем производную функции $y = x + \ln(-x)$:

$y' = (x + \ln(-x))' = (x)' + (\ln(-x))' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-1) = 1 + \frac{1}{x}$.

2. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.

Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции ($x < 0$).

Критическая точка $x = -1$ принадлежит заданному промежутку $[-4; -0,5]$, так как $-4 \le -1 \le -0,5$.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x = -1$ и на концах промежутка $x = -4$ и $x = -0,5$:

• $y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4)$.
• $y(-1) = -1 + \ln(-(-1)) = -1 + \ln(1) = -1 + 0 = -1$.
• $y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5) = -0,5 + \ln(2^{-1}) = -0,5 - \ln(2)$.

4. Сравним полученные значения: $-4 + \ln(4)$, $-1$, $-0,5 - \ln(2)$.

Используем приближенные значения $\ln(2) \approx 0,69$ и $\ln(4) = 2\ln(2) \approx 1,38$.

• $y(-4) = -4 + \ln(4) \approx -4 + 1,38 = -2,62$.
• $y(-1) = -1$.
• $y(-0,5) = -0,5 - \ln(2) \approx -0,5 - 0,69 = -1,19$.

Сравнивая числа $-2,62$, $-1$ и $-1,19$, видим, что наименьшее из них $-2,62$, а наибольшее $-1$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-4 + \ln(4)$, а наибольшее значение равно $-1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -4 + \ln(4)$, наибольшее значение $y_{max} = -1$.

---

б)

Найдем наименьшее и наибольшее значение функции $y = x + e^{-x}$ на промежутке $[-\ln 4; \ln 2]$.

1. Найдем производную функции $y = x + e^{-x}$:

$y' = (x + e^{-x})' = (x)' + (e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

2. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1 \implies -x = 0 \implies x = 0$.

Критическая точка $x = 0$ принадлежит заданному промежутку $[-\ln 4; \ln 2]$, так как $-\ln 4 < 0$ и $\ln 2 > 0$.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах промежутка $x = -\ln 4$ и $x = \ln 2$:

• $y(-\ln 4) = -\ln 4 + e^{-(-\ln 4)} = -\ln 4 + e^{\ln 4} = 4 - \ln 4$.
• $y(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$.
• $y(\ln 2) = \ln 2 + e^{-\ln 2} = \ln 2 + e^{\ln(1/2)} = \ln 2 + \frac{1}{2}$.

4. Сравним полученные значения: $4 - \ln 4$, $1$, $\ln 2 + \frac{1}{2}$.

Используем приближенные значения $\ln(2) \approx 0,69$ и $\ln(4) \approx 1,38$.

• $y(-\ln 4) = 4 - \ln 4 \approx 4 - 1,38 = 2,62$.
• $y(0) = 1$.
• $y(\ln 2) = \ln 2 + 0,5 \approx 0,69 + 0,5 = 1,19$.

Сравнивая числа $2,62$, $1$ и $1,19$, видим, что наименьшее из них $1$, а наибольшее $2,62$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $1$, а наибольшее значение равно $4 - \ln 4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 1$, наибольшее значение $y_{max} = 4 - \ln 4$.