Номер 19.37, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.37, страница 122.

19.37. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x - \ln x$ на заданном отрезке:

а) $\left[\frac{1}{e}; e\right]$;

б) $[e; e^2]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Найти производную функции $y'$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.
3. Отобрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Дана функция $y = x - \ln x$. Область определения функции: $x > 0$.

1. Находим производную функции:$y' = (x - \ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$.

2. Находим критические точки:$y' = 0 \implies 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{x-1}{x} = 0$.Так как $x$ не может быть равно нулю (из области определения), то $x - 1 = 0$, откуда получаем единственную критическую точку $x = 1$.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

а) Отрезок $[\frac{1}{e}; e]$.

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x=1$ отрезку $[\frac{1}{e}; e]$.Так как $e \approx 2.718$, то $\frac{1}{e} \approx 0.368$.Поскольку $0.368 < 1 < 2.718$, точка $x=1$ принадлежит данному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=\frac{1}{e}$ и $x=e$.
- $y(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.
- $y(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} - \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} - \ln(e^{-1}) = \frac{1}{e} - (-1) = \frac{1}{e} + 1$.
- $y(e) = e - \ln(e) = e - 1$.

5. Сравним полученные значения: $1$, $\frac{1}{e} + 1$ и $e - 1$.
Приближенные значения: $1$; $\frac{1}{e} + 1 \approx 0.368 + 1 = 1.368$; $e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718$.
Сравнивая значения, видим, что $1 < \frac{1}{e} + 1 < e - 1$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее равно $e - 1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 1$, наибольшее значение $y_{max} = e - 1$.

б) Отрезок $[e; e^2]$.

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x=1$ отрезку $[e; e^2]$.
Так как $e \approx 2.718$, то $1 < e$, следовательно, критическая точка $x=1$ не принадлежит данному отрезку.

В этом случае, для нахождения наименьшего и наибольшего значений, достаточно вычислить значения функции на концах отрезка. Также можно проанализировать поведение функции на этом отрезке.

Производная $y' = \frac{x-1}{x}$. Для любого $x$ из отрезка $[e; e^2]$ (где $x > 1$) производная $y' > 0$. Это означает, что функция $y(x)$ на данном отрезке монотонно возрастает.

Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается в левой крайней точке отрезка, а наибольшее — в правой.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=e$ и $x=e^2$.
- Наименьшее значение: $y(e) = e - \ln(e) = e - 1$.
- Наибольшее значение: $y(e^2) = e^2 - \ln(e^2) = e^2 - 2\ln(e) = e^2 - 2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = e - 1$, наибольшее значение $y_{max} = e^2 - 2$.