Номер 19.30, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.30, страница 121.

19.30. a) $y = \ln \left( 2x^3 - \frac{3}{x} \right);$

б) $y = \ln^2 (3x - 4);$

В) $y = \ln (2 \operatorname{tg} x + x);$

Г) $y = \frac{1}{\sqrt[5]{\ln 2x}}.$

а) $y = \ln\left(2x^3 - \frac{3}{x}\right)$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функция представляет собой композицию двух функций: внешней $f(u) = \ln(u)$ и внутренней $g(x) = 2x^3 - \frac{3}{x}$.
Производная сложной функции находится по формуле $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
1. Найдём производную внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$. 2. Найдём производную внутренней функции. Для удобства представим $\frac{3}{x}$ как $3x^{-1}$.
$g'(x) = \left(2x^3 - 3x^{-1}\right)' = (2x^3)' - (3x^{-1})' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot (-1)x^{-2} = 6x^2 + 3x^{-2} = 6x^2 + \frac{3}{x^2}$.
3. Подставим найденные производные в формулу цепного правила:
$y' = \frac{1}{2x^3 - \frac{3}{x}} \cdot \left(6x^2 + \frac{3}{x^2}\right)$.
4. Упростим полученное выражение. Приведём к общему знаменателю выражения в скобках и в знаменателе дроби:
$y' = \frac{1}{\frac{2x^4 - 3}{x}} \cdot \frac{6x^4 + 3}{x^2} = \frac{x}{2x^4 - 3} \cdot \frac{3(2x^4 + 1)}{x^2}$.
Сократим на $x$:
$y' = \frac{3(2x^4 + 1)}{x(2x^4 - 3)}$.

Ответ: $y' = \frac{3(2x^4 + 1)}{x(2x^4 - 3)}$

б) $y = \ln^2(3x - 4)$

Эту функцию можно записать как $y = (\ln(3x - 4))^2$. Это сложная функция, состоящая из трех вложенных функций: $h(u) = u^2$, $f(v) = \ln(v)$, $g(x) = 3x - 4$.
Применим цепное правило последовательно:
1. Производная внешней функции $h(u)=u^2$ равна $h'(u) = 2u$. В нашем случае $u = \ln(3x-4)$.
2. Производная средней функции $f(v)=\ln(v)$ равна $f'(v) = \frac{1}{v}$. Здесь $v = 3x-4$.
3. Производная внутренней функции $g(x)=3x-4$ равна $g'(x) = 3$.
4. Перемножим эти производные, чтобы найти $y'$:
$y' = 2(\ln(3x-4)) \cdot \frac{1}{3x-4} \cdot 3$.
Упростим выражение:
$y' = \frac{6 \ln(3x-4)}{3x-4}$.

Ответ: $y' = \frac{6 \ln(3x-4)}{3x-4}$

в) $y = \ln(2 \tg x + x)$

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \ln(u)$, а внутренняя $g(x) = 2 \tg x + x$.
Применяем цепное правило $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
1. Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
2. Производная внутренней функции: $g'(x) = (2 \tg x + x)' = (2 \tg x)' + (x)'$.
Мы знаем, что $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(x)' = 1$.
Следовательно, $g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 1 = \frac{2}{\cos^2 x} + 1$.
3. Собираем все вместе:
$y' = \frac{1}{2 \tg x + x} \cdot \left(\frac{2}{\cos^2 x} + 1\right)$.
Можно оставить ответ в таком виде или записать в виде одной дроби:
$y' = \frac{1 + \frac{2}{\cos^2 x}}{x + 2 \tg x}$.

Ответ: $y' = \frac{1 + \frac{2}{\cos^2 x}}{x + 2 \tg x}$

г) $y = \frac{1}{\sqrt[5]{\ln 2x}}$

Сначала перепишем функцию в виде степени для удобства дифференцирования:
$y = (\ln(2x))^{-1/5}$.
Это сложная функция, состоящая из композиции $h(u) = u^{-1/5}$, $f(v) = \ln(v)$, и $g(x) = 2x$.
Применим цепное правило последовательно:
1. Производная внешней степенной функции: $(u^{-1/5})' = -\frac{1}{5}u^{-1/5 - 1} = -\frac{1}{5}u^{-6/5}$.
2. Производная логарифмической функции: $(\ln v)' = \frac{1}{v}$.
3. Производная линейной функции: $(2x)' = 2$.
4. Перемножим производные:
$y' = -\frac{1}{5}(\ln(2x))^{-6/5} \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2$.
Сократим двойки:
$y' = -\frac{1}{5x}(\ln(2x))^{-6/5}$.
Вернемся к записи с корнем:
$y' = -\frac{1}{5x(\ln(2x))^{6/5}} = -\frac{1}{5x\sqrt[5]{(\ln(2x))^6}} = -\frac{1}{5x\sqrt[5]{\ln^6(2x)}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{5x\sqrt[5]{\ln^6(2x)}}$