Номер 19.34, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.34, страница 121.

19.34. Запишите уравнение прямой, которая проходит через начало координат и является касательной к графику функции:

a) $y = \ln x;$

б) $y = \ln x^3.$

а)

Искомая прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Уравнение любой прямой, проходящей через начало координат (кроме вертикальной), имеет вид $y = kx$, где $k$ — ее угловой коэффициент.

С другой стороны, эта прямая является касательной к графику функции $f(x) = \ln x$ в некоторой точке $x_0$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Чтобы эта касательная проходила через начало координат, точка $(0, 0)$ должна удовлетворять ее уравнению. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение касательной: $0 = f(x_0) + f'(x_0)(0 - x_0)$ $0 = f(x_0) - x_0 f'(x_0)$ Отсюда мы получаем условие для нахождения абсциссы точки касания $x_0$: $f(x_0) = x_0 f'(x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = \ln x$: $f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Теперь подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в полученное нами условие: $\ln x_0 = x_0 \cdot \frac{1}{x_0}$ $\ln x_0 = 1$

Решая это уравнение, находим абсциссу точки касания: $x_0 = e$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке $x_0$: $k = f'(x_0) = f'(e) = \frac{1}{e}$.

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{e}$, имеет вид: $y = \frac{1}{e}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{e}x$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Искомая прямая проходит через начало координат и является касательной к графику функции $g(x) = \ln x^3$. Область определения функции $x^3 > 0 \implies x > 0$. По свойству логарифма, функцию можно упростить: $g(x) = 3 \ln x$.

Условие для нахождения абсциссы точки касания $x_0$ остается тем же: $g(x_0) = x_0 g'(x_0)$.

Найдем производную функции $g(x) = 3 \ln x$: $g'(x) = (3 \ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Подставим выражения для $g(x_0)$ и $g'(x_0)$ в условие: $3 \ln x_0 = x_0 \cdot \frac{3}{x_0}$ $3 \ln x_0 = 3$ $\ln x_0 = 1$

Решая уравнение, находим абсциссу точки касания: $x_0 = e$.

Теперь найдем угловой коэффициент $k$ искомой прямой: $k = g'(x_0) = g'(e) = \frac{3}{e}$.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат с найденным угловым коэффициентом: $y = \frac{3}{e}x$.

Ответ: $y = \frac{3}{e}x$.