Номер 19.31, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.31, страница 121.

19.31. a) Докажите, что функция $y = \sqrt{\ln x}$ удовлетворяет уравнению $2xyy' = 1$.

б) Докажите, что функция $y = e^{\frac{1}{x}}$ удовлетворяет уравнению $y + x^2y' = 0$.

а)

Чтобы доказать, что функция $y = \sqrt{\ln x}$ удовлетворяет уравнению $2xyy' = 1$, необходимо найти производную $y'$ и подставить её вместе с исходной функцией $y$ в данное уравнение.

1. Найдем производную функции $y = \sqrt{\ln x}$. Это сложная функция, поэтому будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$y' = (\sqrt{\ln x})' = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$.

2. Теперь подставим выражения для $y$ и $y'$ в левую часть уравнения $2xyy' = 1$:

$2xyy' = 2x \cdot (\sqrt{\ln x}) \cdot \left(\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\right)$.

3. Упростим полученное выражение, сократив множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2x\sqrt{\ln x}}{2x\sqrt{\ln x}} = 1$.

В результате мы получили $1$, что равно правой части уравнения. Таким образом, тождество $1 = 1$ доказано, а значит, функция $y = \sqrt{\ln x}$ является решением уравнения $2xyy' = 1$.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что функция $y = e^{\frac{1}{x}}$ удовлетворяет уравнению $y + x^2y' = 0$, также найдем производную $y'$ и подставим её и функцию $y$ в уравнение.

1. Найдем производную функции $y = e^{\frac{1}{x}}$ по цепному правилу. Показатель степени является функцией от $x$, поэтому:

$y' = (e^{\frac{1}{x}})' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (\frac{1}{x})' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (x^{-1})' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$.

2. Подставим полученные выражения для $y$ и $y'$ в левую часть уравнения $y + x^2y' = 0$:

$y + x^2y' = e^{\frac{1}{x}} + x^2 \cdot \left(-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\right)$.

3. Упростим выражение:

$e^{\frac{1}{x}} - \frac{x^2 e^{\frac{1}{x}}}{x^2} = e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} = 0$.

В результате мы получили $0$, что равно правой части уравнения. Тождество $0 = 0$ доказано, следовательно, функция $y = e^{\frac{1}{x}}$ удовлетворяет уравнению $y + x^2y' = 0$.

Ответ: Доказано.