Номер 19.25, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.25, страница 120.

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:

19.25. a) $y = \ln x + x$, $x_0 = \frac{1}{7}$;

б) $y = x^3 \ln x$, $x_0 = e$;

в) $y = x^2 - \ln x$, $x_0 = 0,5$;

г) $y = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$.

а) $y = \ln x + x$, $x_0 = \frac{1}{7}$

Чтобы найти значение производной в указанной точке, сначала найдем производную функции $y(x)$. Функция представляет собой сумму двух функций, поэтому ее производная равна сумме производных: $y' = (\ln x + x)' = (\ln x)' + (x)'$.

Используя таблицу производных, находим: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ $(x)' = 1$

Таким образом, производная функции равна: $y' = \frac{1}{x} + 1$.

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{7}$ в выражение для производной: $y'(\frac{1}{7}) = \frac{1}{\frac{1}{7}} + 1 = 7 + 1 = 8$.

Ответ: 8

б) $y = x^3 \ln x$, $x_0 = e$

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$. В нашем случае $u = x^3$ и $v = \ln x$.

Находим производные для $u$ и $v$: $u' = (x^3)' = 3x^2$ $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Подставляем в формулу производной произведения: $y' = (x^3)' \ln x + x^3 (\ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = e$. Учитывая, что $\ln e = 1$: $y'(e) = 3e^2 \ln e + e^2 = 3e^2 \cdot 1 + e^2 = 3e^2 + e^2 = 4e^2$.

Ответ: $4e^2$

в) $y = x^2 - \ln x$, $x_0 = 0,5$

Найдем производную функции $y(x)$. Функция является разностью, поэтому ее производная равна разности производных: $y' = (x^2 - \ln x)' = (x^2)' - (\ln x)'$.

Находим производные каждого слагаемого: $(x^2)' = 2x$ $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Следовательно, производная функции: $y' = 2x - \frac{1}{x}$.

Подставим значение $x_0 = 0,5$ (или $x_0 = \frac{1}{2}$) в полученное выражение: $y'(0,5) = 2 \cdot 0,5 - \frac{1}{0,5} = 1 - 2 = -1$.

Ответ: -1

г) $y = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В данном случае $u = \ln x$ и $v = x$.

Находим производные для $u$ и $v$: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ $v' = (x)' = 1$

Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$. Учитывая, что $\ln 1 = 0$: $y'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1$.

Ответ: 1