Номер 19.18, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.18, страница 120.

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

19.18. а) $y = x^2e^x;$

б) $y = xe^{2x-4};$

в) $y = x^3e^x;$

г) $y = \frac{e^x}{x}.$

а) $y = x^2e^x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = (x^2e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = e^x(2x + x^2) = e^x x(x+2)$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$e^x x(x+2) = 0$.
Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $x(x+2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-2; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0^2e^0 = 0$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 0]$. $x_{max} = -2$, $y_{max} = \frac{4}{e^2}$; $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

б) $y = xe^{2x-4}$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило произведения и цепное правило:
$y' = (xe^{2x-4})' = (x)'e^{2x-4} + x(e^{2x-4})' = 1 \cdot e^{2x-4} + x \cdot e^{2x-4} \cdot 2 = e^{2x-4}(1+2x)$.

3. Находим критические точки: $y' = 0$.
$e^{2x-4}(1+2x) = 0$.
Так как $e^{2x-4} > 0$, то $1+2x=0$, откуда $x = -0.5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -0.5)$ и $(-0.5; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -0.5)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-0.5; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
$y_{min} = y(-0.5) = -0.5 \cdot e^{2(-0.5)-4} = -0.5e^{-1-4} = -0.5e^{-5} = -\frac{1}{2e^5}$.

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; -0.5]$, возрастает на промежутке $[-0.5; +\infty)$. $x_{min} = -0.5$, $y_{min} = -\frac{1}{2e^5}$.

в) $y = x^3e^x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$y' = (x^3e^x)' = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2e^x + x^3e^x = e^x(3x^2+x^3) = e^x x^2(3+x)$.

3. Находим критические точки: $y' = 0$.
$e^x x^2(3+x) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$ и $(0; +\infty)$. Знак $y'$ совпадает со знаком выражения $(3+x)$, так как $e^x > 0$ и $x^2 \ge 0$.
- При $x \in (-\infty; -3)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-3; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -3$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-3) = (-3)^3e^{-3} = -27e^{-3} = -\frac{27}{e^3}$.
- В точке $x = 0$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума (а точка перегиба).

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$, возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. $x_{min} = -3$, $y_{min} = -\frac{27}{e^3}$.

г) $y = \frac{e^x}{x}$

1. Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = (\frac{e^x}{x})' = \frac{(e^x)'x - e^x(x)'}{x^2} = \frac{e^x x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

3. Находим критические точки: $y' = 0$.
$\frac{e^x(x-1)}{x^2} = 0$.
Так как $e^x > 0$ и $x^2 > 0$ в области определения, то $x-1=0$, откуда $x = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=1$ и точка разрыва $x=0$ делят область определения: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Знак $y'$ определяется знаком множителя $(x-1)$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
$y_{min} = y(1) = \frac{e^1}{1} = e$.

Ответ: Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$. $x_{min} = 1$, $y_{min} = e$.