Номер 19.16, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.16, страница 119.

19.16. a) Напишите уравнение той касательной к графику функции $y = e^{2x}$, которая параллельна прямой $y = 2ex - 5$.

б) Докажите, что касательная к графику функции $y = e^{x^3-x}$ в точке $x = 1$ параллельна прямой $y = 2x + 3$.

а)

Чтобы найти уравнение касательной, нам необходимо знать угловой коэффициент и точку касания.

1. Условие параллельности прямой и касательной заключается в том, что их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой дано в виде $y = 2ex - 5$. Ее угловой коэффициент $k$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k = 2e$.

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $f'(x_0)$. Найдем производную функции $y = e^{2x}$:
$f'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

3. Приравняем угловой коэффициент касательной к угловому коэффициенту данной прямой, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 2e$
$2e^{2x_0} = 2e$
$e^{2x_0} = e^1$
Из равенства следует, что показатели степеней равны:
$2x_0 = 1 \implies x_0 = \frac{1}{2}$.

4. Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = \frac{1}{2}$ в исходное уравнение функции $y = e^{2x}$:
$y_0 = e^{2 \cdot \frac{1}{2}} = e^1 = e$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{2}, e)$.

5. Общее уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)$. Подставим найденные значения:
$y = e + 2e(x - \frac{1}{2})$
$y = e + 2ex - e$
$y = 2ex$.

Ответ: $y = 2ex$.

б)

Чтобы доказать, что касательная к графику функции $y = e^{x^3 - x}$ в точке $x = 1$ параллельна прямой $y = 2x + 3$, необходимо показать, что их угловые коэффициенты равны.

1. Угловой коэффициент прямой $y = 2x + 3$ равен $k_1 = 2$.

2. Угловой коэффициент касательной $k_2$ в точке $x_0 = 1$ равен значению производной функции $f(x) = e^{x^3 - x}$ в этой точке. Найдем производную:
$f'(x) = (e^{x^3 - x})' = e^{x^3 - x} \cdot (x^3 - x)' = e^{x^3 - x} \cdot (3x^2 - 1)$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k_2 = f'(1) = e^{1^3 - 1} \cdot (3 \cdot 1^2 - 1)$
$k_2 = e^{1 - 1} \cdot (3 - 1)$
$k_2 = e^0 \cdot 2$
$k_2 = 1 \cdot 2 = 2$.

4. Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = 2$ и $k_2 = 2$. Так как $k_1 = k_2$, то касательная к графику функции в точке $x=1$ действительно параллельна прямой $y = 2x + 3$.

Ответ: Доказано.