Номер 19.12, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.12, страница 119.

19.12. Напишите уравнение касательной к графику функции

$y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

а) $y = e^x$, $a = 1$;

б) $y = e^x$, $a = 2$;

в) $y = e^x$, $a = 0$;

г) $y = e^x$, $a = -1$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ задается формулой:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

В данной задаче функция $f(x) = e^x$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$

Теперь применим эту формулу для каждого из случаев.

а) $y = e^x, a = 1;$

1. Найдем значение функции в точке касания $a = 1$:
$f(a) = f(1) = e^1 = e$.

2. Найдем значение производной в точке касания $a = 1$. Это будет угловой коэффициент касательной:
$f'(a) = f'(1) = e^1 = e$.

3. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=e$ и $f'(1)=e$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x-1)$
$y = e + e(x - 1)$
$y = e + ex - e$
$y = ex$

Ответ: $y = ex$.

б) $y = e^x, a = 2;$

1. Найдем значение функции в точке касания $a = 2$:
$f(a) = f(2) = e^2$.

2. Найдем значение производной в точке касания $a = 2$:
$f'(a) = f'(2) = e^2$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x-2)$
$y = e^2 + e^2(x - 2)$
$y = e^2 + e^2x - 2e^2$
$y = e^2x - e^2$

Ответ: $y = e^2x - e^2$.

в) $y = e^x, a = 0;$

1. Найдем значение функции в точке касания $a = 0$:
$f(a) = f(0) = e^0 = 1$.

2. Найдем значение производной в точке касания $a = 0$:
$f'(a) = f'(0) = e^0 = 1$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x-0)$
$y = 1 + 1(x - 0)$
$y = 1 + x$

Ответ: $y = x + 1$.

г) $y = e^x, a = -1.$

1. Найдем значение функции в точке касания $a = -1$:
$f(a) = f(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

2. Найдем значение производной в точке касания $a = -1$:
$f'(a) = f'(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$
$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x + 1)$
$y = \frac{1}{e} + \frac{x}{e} + \frac{1}{e}$
$y = \frac{x}{e} + \frac{2}{e}$

Ответ: $y = \frac{x+2}{e}$.