Номер 19.11, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.11, страница 119.

19.11. Решите неравенство $g'(x) < a$, если:

а) $g(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}$, $a = \frac{1}{e^3}$;

б) $g(x) = x + e^{4x-3}$, $a = 5$;

в) $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}$, $a = \frac{1}{e}$;

г) $g(x) = e^{9x+21} - x$, $a = 8$.

а)

Дана функция $g(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}$ и значение $a = \frac{1}{e^3}$.

Сначала найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

$g'(x) = \left(6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}\right)' = 0 - \frac{1}{2} \cdot e^{2x-3} \cdot (2x-3)' = -\frac{1}{2} \cdot e^{2x-3} \cdot 2 = -e^{2x-3}$.

Теперь решим неравенство $g'(x) < a$:

$-e^{2x-3} < \frac{1}{e^3}$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$e^{2x-3} > -\frac{1}{e^3}$.

Значение показательной функции $e^y$ всегда положительно для любого действительного аргумента $y$. В правой части неравенства стоит отрицательное число $-\frac{1}{e^3}$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Дана функция $g(x) = x + e^{4x-3}$ и значение $a = 5$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (x + e^{4x-3})' = 1 + e^{4x-3} \cdot (4x-3)' = 1 + 4e^{4x-3}$.

Решим неравенство $g'(x) < a$:

$1 + 4e^{4x-3} < 5$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$4e^{4x-3} < 4$.

Разделим обе части на 4:

$e^{4x-3} < 1$.

Поскольку $1 = e^0$, неравенство можно переписать в виде:

$e^{4x-3} < e^0$.

Так как основание показательной функции $e > 1$, функция является возрастающей, и мы можем перейти к неравенству для показателей степени:

$4x - 3 < 0$.

$4x < 3$.

$x < \frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{4})$.

в)

Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}$ и значение $a = \frac{1}{e}$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = \left(\frac{1}{3}e^{3x+5}\right)' = \frac{1}{3} \cdot e^{3x+5} \cdot (3x+5)' = \frac{1}{3} \cdot e^{3x+5} \cdot 3 = e^{3x+5}$.

Решим неравенство $g'(x) < a$:

$e^{3x+5} < \frac{1}{e}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $e$: $\frac{1}{e} = e^{-1}$.

$e^{3x+5} < e^{-1}$.

Так как основание $e > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$3x + 5 < -1$.

$3x < -1 - 5$.

$3x < -6$.

$x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

г)

Дана функция $g(x) = e^{9x+21} - x$ и значение $a = 8$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (e^{9x+21} - x)' = e^{9x+21} \cdot (9x+21)' - 1 = 9e^{9x+21} - 1$.

Решим неравенство $g'(x) < a$:

$9e^{9x+21} - 1 < 8$.

Прибавим 1 к обеим частям:

$9e^{9x+21} < 9$.

Разделим обе части на 9:

$e^{9x+21} < 1$.

Представим 1 как $e^0$:

$e^{9x+21} < e^0$.

Так как основание $e > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$9x + 21 < 0$.

$9x < -21$.

$x < -\frac{21}{9}$.

Сократим дробь:

$x < -\frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{3})$.