Номер 19.9, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.9, страница 118.

19.9. Найдите угол, образованный касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс:

a) $h(x) = \frac{1}{5}e^{5x-1}$, $x_0 = 0,2;$

б) $h(x) = e^{-x+\sqrt{3}}$, $x_0 = \sqrt{3};$

в) $h(x) = \frac{1}{3}e^{1-3x}$, $x_0 = \frac{1}{3};$

г) $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}$, $x_0 = \sqrt{3}.$

Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс, находится через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной, который мы обозначим как $k$, равен значению производной функции в точке касания: $k = \tan(\alpha) = h'(x_0)$.

а) Дана функция $h(x) = \frac{1}{5}e^{5x-1}$ и точка $x_0 = 0,2$.

1. Найдем производную функции $h(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$, получаем:

$h'(x) = \left(\frac{1}{5}e^{5x-1}\right)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-1} \cdot (5x-1)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-1} \cdot 5 = e^{5x-1}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,2$. Это значение является тангенсом угла наклона касательной.

$k = h'(0,2) = e^{5 \cdot 0,2 - 1} = e^{1-1} = e^0 = 1$.

3. Найдем угол $\alpha$, зная его тангенс.

$\tan(\alpha) = 1$. Отсюда следует, что $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) Дана функция $h(x) = e^{-x+\sqrt{3}}$ и точка $x_0 = \sqrt{3}$.

1. Находим производную функции:

$h'(x) = \left(e^{-x+\sqrt{3}}\right)' = e^{-x+\sqrt{3}} \cdot (-x+\sqrt{3})' = e^{-x+\sqrt{3}} \cdot (-1) = -e^{-x+\sqrt{3}}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \sqrt{3}$:

$k = h'(\sqrt{3}) = -e^{-\sqrt{3}+\sqrt{3}} = -e^0 = -1$.

3. Находим угол $\alpha$:

$\tan(\alpha) = -1$. Угол в диапазоне $[0, 180^\circ)$, тангенс которого равен $-1$, это $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

в) Дана функция $h(x) = \frac{1}{3}e^{1-3x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

1. Находим производную функции:

$h'(x) = \left(\frac{1}{3}e^{1-3x}\right)' = \frac{1}{3} \cdot e^{1-3x} \cdot (1-3x)' = \frac{1}{3} \cdot e^{1-3x} \cdot (-3) = -e^{1-3x}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

$k = h'\left(\frac{1}{3}\right) = -e^{1-3 \cdot \frac{1}{3}} = -e^{1-1} = -e^0 = -1$.

3. Находим угол $\alpha$:

$\tan(\alpha) = -1$. Как и в предыдущем пункте, $\alpha = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

г) Дана функция $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1}$ и точка $x_0 = \sqrt{3}$.

1. Находим производную функции:

$h'(x) = \left(e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1}\right)' = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1\right)' = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \sqrt{3}$:

$k = h'(\sqrt{3}) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^{\frac{3}{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^{1-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Находим угол $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $\alpha = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.