Номер 19.4, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.4, страница 118.

19.4. a) $f(x) = e^{\sin x}$;

б) $f(x) = xe^{x^2 - 2x + 3}$;

В) $f(x) = e^{\sqrt{x}}$;

Г) $f(x) = \sqrt{e^{2x} + x}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = e^{\sin x}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В данном случае, внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя функция $h(x) = \sin x$.
Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $(\sin x)' = \cos x$.
Применяя цепное правило, получаем:
$f'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = e^{\sin x} \cdot \cos x$.
Ответ: $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = xe^{x^2-2x+3}$ используем правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = e^{x^2-2x+3}$.
Найдем производную первой функции: $u'(x) = (x)' = 1$.
Для нахождения производной второй функции $v(x)$ применим цепное правило. Внутренняя функция здесь $w(x) = x^2-2x+3$, её производная $w'(x) = (x^2-2x+3)' = 2x-2$.
Тогда производная $v(x)$ равна:
$v'(x) = (e^{x^2-2x+3})' = e^{x^2-2x+3} \cdot (x^2-2x+3)' = e^{x^2-2x+3} \cdot (2x-2)$.
Теперь подставим все найденные производные в формулу для производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot e^{x^2-2x+3} + x \cdot (e^{x^2-2x+3} \cdot (2x-2))$.
Вынесем общий множитель $e^{x^2-2x+3}$ за скобки:
$f'(x) = e^{x^2-2x+3} (1 + x(2x-2)) = e^{x^2-2x+3} (1 + 2x^2 - 2x)$.
Ответ: $f'(x) = (2x^2 - 2x + 1)e^{x^2-2x+3}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ воспользуемся цепным правилом, как и в пункте а).
Внешняя функция $g(u) = e^u$, внутренняя функция $h(x) = \sqrt{x}$.
Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Применяя цепное правило, получаем:
$f'(x) = (e^{\sqrt{x}})' = e^{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.

г) Это сложная функция вида $f(x) = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = e^{2x} + x$. Применяем цепное правило.
Производная внешней функции $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Теперь найдем производную внутренней функции $u'(x) = (e^{2x} + x)'$.
Используем правило дифференцирования суммы: $(e^{2x})' + (x)'$.
$(x)'=1$.
Производную $(e^{2x})'$ находим по цепному правилу: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
Следовательно, производная внутренней функции: $u'(x) = 2e^{2x} + 1$.
Собираем все вместе по цепному правилу:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{e^{2x} + x}} \cdot (2e^{2x} + 1) = \frac{2e^{2x} + 1}{2\sqrt{e^{2x} + x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2e^{2x} + 1}{2\sqrt{e^{2x} + x}}$.