Номер 19.7, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.7, страница 118.

19.7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $f(x) = 4e^x + 3, x_0 = -2;$

б) $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot e^x, x_0 = 1;$

в) $f(x) = 0,1e^x - 10x, x_0 = 0;$

г) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}, x_0 = 1.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = 4e^x + 3$ и точка $x_0 = -2$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, а также производные показательной функции $(e^x)'=e^x$ и константы $(C)'=0$.

$f'(x) = (4e^x + 3)' = (4e^x)' + (3)' = 4(e^x)' + 0 = 4e^x$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$, чтобы найти угловой коэффициент $k$.

$k = f'(-2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.

Ответ: $\frac{4}{e^2}$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot e^x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/3} \cdot e^x$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Производная первого множителя: $(x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная второго множителя: $(e^x)' = e^x$.

Применяем правило произведения:

$f'(x) = (x^{1/3})'e^x + x^{1/3}(e^x)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \cdot e^x + \sqrt[3]{x} \cdot e^x = e^x \left( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \sqrt[3]{x} \right)$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$.

$k = f'(1) = e^1 \left( \frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}} + \sqrt[3]{1} \right) = e \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = e \cdot \frac{4}{3} = \frac{4e}{3}$.

Ответ: $\frac{4e}{3}$.

в) Дана функция $f(x) = 0{,}1e^x - 10x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$.

$f'(x) = (0{,}1e^x - 10x)' = (0{,}1e^x)' - (10x)' = 0{,}1e^x - 10$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$.

$k = f'(0) = 0{,}1e^0 - 10 = 0{,}1 \cdot 1 - 10 = 0{,}1 - 10 = -9{,}9$.

Ответ: $-9{,}9$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Производная числителя: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная знаменателя: $(e^x)' = e^x$.

Применяем правило частного:

$f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'e^x - \sqrt{x}(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x - \sqrt{x} \cdot e^x}{e^{2x}}$.

Вынесем $e^x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$f'(x) = \frac{e^x \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\right)}{e^{2x}} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{e^x}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$.

$k = f'(1) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1}} - \sqrt{1}}{e^1} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{e} = \frac{-\frac{1}{2}}{e} = -\frac{1}{2e}$.

Ответ: $-\frac{1}{2e}$.