Страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите производную функции:

19.3. а) $f(x) = x^3e^x$;

б) $f(x) = \frac{e^x}{x}$;

в) $f(x) = x^2e^x$;

г) $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = e^x$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2e^x + x^3e^x$.

Вынесем общий множитель $x^2e^x$ за скобки:

$f'(x) = x^2e^x(3 + x)$.

Ответ: $f'(x) = x^2e^x(x+3)$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{e^x}{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x)' = 1$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}$.

Вынесем общий множитель $e^x$ в числителе за скобки:

$f'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^x$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (x^2)' = 2x$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x$.

Вынесем общий множитель $xe^x$ за скобки:

$f'(x) = xe^x(2 + x)$.

Ответ: $f'(x) = xe^x(x+2)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x^3$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x^3 - e^x \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{e^x \cdot x^3 - e^x \cdot 3x^2}{x^6}$.

Вынесем общий множитель $e^x x^2$ в числителе за скобки и сократим дробь:

$f'(x) = \frac{x^2e^x(x-3)}{x^6} = \frac{e^x(x-3)}{x^4}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{e^x(x-3)}{x^4}$.

19.4. a) $f(x) = e^{\sin x}$;

б) $f(x) = xe^{x^2 - 2x + 3}$;

В) $f(x) = e^{\sqrt{x}}$;

Г) $f(x) = \sqrt{e^{2x} + x}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = e^{\sin x}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В данном случае, внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя функция $h(x) = \sin x$.
Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $(\sin x)' = \cos x$.
Применяя цепное правило, получаем:
$f'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = e^{\sin x} \cdot \cos x$.
Ответ: $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = xe^{x^2-2x+3}$ используем правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = e^{x^2-2x+3}$.
Найдем производную первой функции: $u'(x) = (x)' = 1$.
Для нахождения производной второй функции $v(x)$ применим цепное правило. Внутренняя функция здесь $w(x) = x^2-2x+3$, её производная $w'(x) = (x^2-2x+3)' = 2x-2$.
Тогда производная $v(x)$ равна:
$v'(x) = (e^{x^2-2x+3})' = e^{x^2-2x+3} \cdot (x^2-2x+3)' = e^{x^2-2x+3} \cdot (2x-2)$.
Теперь подставим все найденные производные в формулу для производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot e^{x^2-2x+3} + x \cdot (e^{x^2-2x+3} \cdot (2x-2))$.
Вынесем общий множитель $e^{x^2-2x+3}$ за скобки:
$f'(x) = e^{x^2-2x+3} (1 + x(2x-2)) = e^{x^2-2x+3} (1 + 2x^2 - 2x)$.
Ответ: $f'(x) = (2x^2 - 2x + 1)e^{x^2-2x+3}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ воспользуемся цепным правилом, как и в пункте а).
Внешняя функция $g(u) = e^u$, внутренняя функция $h(x) = \sqrt{x}$.
Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Применяя цепное правило, получаем:
$f'(x) = (e^{\sqrt{x}})' = e^{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.

г) Это сложная функция вида $f(x) = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = e^{2x} + x$. Применяем цепное правило.
Производная внешней функции $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Теперь найдем производную внутренней функции $u'(x) = (e^{2x} + x)'$.
Используем правило дифференцирования суммы: $(e^{2x})' + (x)'$.
$(x)'=1$.
Производную $(e^{2x})'$ находим по цепному правилу: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
Следовательно, производная внутренней функции: $u'(x) = 2e^{2x} + 1$.
Собираем все вместе по цепному правилу:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{e^{2x} + x}} \cdot (2e^{2x} + 1) = \frac{2e^{2x} + 1}{2\sqrt{e^{2x} + x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2e^{2x} + 1}{2\sqrt{e^{2x} + x}}$.

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке $x_0$:

19.5. а) $y = e^x + x^2, x_0 = 0;$

б) $y = e^x(x + 1), x_0 = -1;$

в) $y = e^x - x, x_0 = 1;$

г) $y = \frac{e^x}{x + 1}, x_0 = 0.$

а) Дана функция $y = e^x + x^2$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения значения производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции. Используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.
$y' = (e^x + x^2)' = (e^x)' + (x^2)'$.
Мы знаем, что производная показательной функции $(e^x)' = e^x$ и производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Следовательно, $y' = e^x + 2x$.
Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в полученное выражение для производной:
$y'(0) = e^0 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$.
Ответ: 1.

б) Дана функция $y = e^x(x + 1)$ и точка $x_0 = -1$.
Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x+1$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x+1)' = 1$.
Теперь применим формулу:
$y' = (e^x)'(x+1) + e^x(x+1)' = e^x(x+1) + e^x \cdot 1$.
Упростим выражение: $y' = e^x(x+1+1) = e^x(x+2)$.
Подставим значение $x_0 = -1$ в выражение для производной:
$y'(-1) = e^{-1}(-1+2) = e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e}$.
Ответ: $\frac{1}{e}$.

в) Дана функция $y = e^x - x$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.
$y' = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)'$.
Производные составляющих функций: $(e^x)' = e^x$ и $(x)'=1$.
Таким образом, производная функции равна: $y' = e^x - 1$.
Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = e^1 - 1 = e - 1$.
Ответ: $e - 1$.

г) Дана функция $y = \frac{e^x}{x + 1}$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x+1$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x+1)' = 1$.
Применим формулу:
$y' = \frac{(e^x)'(x+1) - e^x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2}$.
Упростим числитель: $y' = \frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$y'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0+1)^2} = \frac{0 \cdot 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: 0.

19.6. a) $y = e^{3x-1}$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

б) $y = 3e^{6+x}$, $x_0 = -5$;

В) $y = e^{4-9x}$, $x_0 = \frac{4}{9}$;

Г) $y = e^{0.5x-3}$, $x_0 = 4$.

а)

Дана функция $y = e^{3x-1}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

В нашем случае, внутренняя функция $u(x) = 3x-1$, а ее производная $u'(x) = 3$.

Тогда производная функции $y$ будет равна:

$y' = (e^{3x-1})' = e^{3x-1} \cdot (3x-1)' = 3e^{3x-1}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$, подставив это значение в полученное выражение:

$y'(\frac{1}{3}) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = 3e^{1-1} = 3e^0 = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: $3$.

б)

Дана функция $y = 3e^{6+x}$ и точка $x_0 = -5$.

Для нахождения производной используем правило вынесения константы за знак производной и правило дифференцирования сложной функции.

Внутренняя функция $u(x) = 6+x$, ее производная $u'(x) = 1$.

Производная функции $y$ равна:

$y' = (3e^{6+x})' = 3 \cdot (e^{6+x})' = 3 \cdot e^{6+x} \cdot (6+x)' = 3e^{6+x} \cdot 1 = 3e^{6+x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -5$:

$y'(-5) = 3e^{6+(-5)} = 3e^{6-5} = 3e^1 = 3e$.

Ответ: $3e$.

в)

Дана функция $y = e^{4-9x}$ и точка $x_0 = \frac{4}{9}$.

Находим производную по правилу дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Внутренняя функция $u(x) = 4-9x$, ее производная $u'(x) = -9$.

Производная функции $y$ равна:

$y' = (e^{4-9x})' = e^{4-9x} \cdot (4-9x)' = e^{4-9x} \cdot (-9) = -9e^{4-9x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{4}{9}$:

$y'(\frac{4}{9}) = -9e^{4 - 9 \cdot \frac{4}{9}} = -9e^{4-4} = -9e^0 = -9 \cdot 1 = -9$.

Ответ: $-9$.

г)

Дана функция $y = e^{0,5x-3}$ и точка $x_0 = 4$.

Находим производную по правилу дифференцирования сложной функции.

Внутренняя функция $u(x) = 0,5x-3$, ее производная $u'(x) = 0,5$.

Производная функции $y$ равна:

$y' = (e^{0,5x-3})' = e^{0,5x-3} \cdot (0,5x-3)' = 0,5e^{0,5x-3}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:

$y'(4) = 0,5e^{0,5 \cdot 4 - 3} = 0,5e^{2-3} = 0,5e^{-1} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$.

Ответ: $\frac{1}{2e}$.

19.7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $f(x) = 4e^x + 3, x_0 = -2;$

б) $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot e^x, x_0 = 1;$

в) $f(x) = 0,1e^x - 10x, x_0 = 0;$

г) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}, x_0 = 1.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = 4e^x + 3$ и точка $x_0 = -2$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, а также производные показательной функции $(e^x)'=e^x$ и константы $(C)'=0$.

$f'(x) = (4e^x + 3)' = (4e^x)' + (3)' = 4(e^x)' + 0 = 4e^x$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$, чтобы найти угловой коэффициент $k$.

$k = f'(-2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.

Ответ: $\frac{4}{e^2}$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot e^x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/3} \cdot e^x$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Производная первого множителя: $(x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная второго множителя: $(e^x)' = e^x$.

Применяем правило произведения:

$f'(x) = (x^{1/3})'e^x + x^{1/3}(e^x)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \cdot e^x + \sqrt[3]{x} \cdot e^x = e^x \left( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \sqrt[3]{x} \right)$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$.

$k = f'(1) = e^1 \left( \frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}} + \sqrt[3]{1} \right) = e \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = e \cdot \frac{4}{3} = \frac{4e}{3}$.

Ответ: $\frac{4e}{3}$.

в) Дана функция $f(x) = 0{,}1e^x - 10x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$.

$f'(x) = (0{,}1e^x - 10x)' = (0{,}1e^x)' - (10x)' = 0{,}1e^x - 10$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$.

$k = f'(0) = 0{,}1e^0 - 10 = 0{,}1 \cdot 1 - 10 = 0{,}1 - 10 = -9{,}9$.

Ответ: $-9{,}9$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Производная числителя: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная знаменателя: $(e^x)' = e^x$.

Применяем правило частного:

$f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'e^x - \sqrt{x}(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x - \sqrt{x} \cdot e^x}{e^{2x}}$.

Вынесем $e^x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$f'(x) = \frac{e^x \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\right)}{e^{2x}} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{e^x}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$.

$k = f'(1) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1}} - \sqrt{1}}{e^1} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{e} = \frac{-\frac{1}{2}}{e} = -\frac{1}{2e}$.

Ответ: $-\frac{1}{2e}$.

О19.8. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $h(x) = \left(\frac{1}{e}\right)^x$, $x_0 = 0$;

б) $h(x) = e^{-x+2}$, $x_0 = 2$;

в) $h(x) = \frac{1}{ex} + x^5$, $x_0 = -1$;

г) $h(x) = x + e^{2x-3}$, $x_0 = 1,5$.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Это следует из геометрического смысла производной: $tg(\alpha) = h'(x_0)$. Для решения задачи необходимо найти производную каждой функции и вычислить ее значение в указанной точке $x_0$.

а) Дана функция $h(x) = \left(\frac{1}{e}\right)^x$ и точка $x_0 = 0$.
Сначала преобразуем функцию, используя свойство степеней: $h(x) = (e^{-1})^x = e^{-x}$.
Теперь найдем производную функции. По правилу дифференцирования показательной функции с основанием $e$, $(e^u)' = e^u \cdot u'$. В данном случае $u = -x$, поэтому $u' = -1$.
$h'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$h'(0) = -e^{-0} = -e^0 = -1$.
Ответ: -1

б) Дана функция $h(x) = e^{-x+2}$ и точка $x_0 = 2$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции. Здесь $u = -x+2$, и $u' = -1$.
$h'(x) = (e^{-x+2})' = e^{-x+2} \cdot (-x+2)' = -e^{-x+2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$h'(2) = -e^{-2+2} = -e^0 = -1$.
Ответ: -1

в) Дана функция $h(x) = \frac{1}{ex} + x^5$ и точка $x_0 = -1$.
Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: $h(x) = \frac{1}{e}x^{-1} + x^5$.
Найдем производную, используя правила дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$h'(x) = \left(\frac{1}{e}x^{-1}\right)' + (x^5)' = \frac{1}{e} \cdot (-1)x^{-1-1} + 5x^{5-1} = -\frac{1}{e}x^{-2} + 5x^4 = -\frac{1}{ex^2} + 5x^4$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$h'(-1) = -\frac{1}{e(-1)^2} + 5(-1)^4 = -\frac{1}{e \cdot 1} + 5 \cdot 1 = 5 - \frac{1}{e}$.
Ответ: $5 - \frac{1}{e}$

г) Дана функция $h(x) = x + e^{2x-3}$ и точка $x_0 = 1,5$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования суммы и правило для сложной функции:
$h'(x) = (x)' + (e^{2x-3})' = 1 + e^{2x-3} \cdot (2x-3)' = 1 + e^{2x-3} \cdot 2 = 1 + 2e^{2x-3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1,5$:
$h'(1,5) = 1 + 2e^{2 \cdot 1,5 - 3} = 1 + 2e^{3-3} = 1 + 2e^0 = 1 + 2 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

19.9. Найдите угол, образованный касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс:

a) $h(x) = \frac{1}{5}e^{5x-1}$, $x_0 = 0,2;$

б) $h(x) = e^{-x+\sqrt{3}}$, $x_0 = \sqrt{3};$

в) $h(x) = \frac{1}{3}e^{1-3x}$, $x_0 = \frac{1}{3};$

г) $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}$, $x_0 = \sqrt{3}.$

Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс, находится через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной, который мы обозначим как $k$, равен значению производной функции в точке касания: $k = \tan(\alpha) = h'(x_0)$.

а) Дана функция $h(x) = \frac{1}{5}e^{5x-1}$ и точка $x_0 = 0,2$.

1. Найдем производную функции $h(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$, получаем:

$h'(x) = \left(\frac{1}{5}e^{5x-1}\right)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-1} \cdot (5x-1)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-1} \cdot 5 = e^{5x-1}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,2$. Это значение является тангенсом угла наклона касательной.

$k = h'(0,2) = e^{5 \cdot 0,2 - 1} = e^{1-1} = e^0 = 1$.

3. Найдем угол $\alpha$, зная его тангенс.

$\tan(\alpha) = 1$. Отсюда следует, что $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) Дана функция $h(x) = e^{-x+\sqrt{3}}$ и точка $x_0 = \sqrt{3}$.

1. Находим производную функции:

$h'(x) = \left(e^{-x+\sqrt{3}}\right)' = e^{-x+\sqrt{3}} \cdot (-x+\sqrt{3})' = e^{-x+\sqrt{3}} \cdot (-1) = -e^{-x+\sqrt{3}}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \sqrt{3}$:

$k = h'(\sqrt{3}) = -e^{-\sqrt{3}+\sqrt{3}} = -e^0 = -1$.

3. Находим угол $\alpha$:

$\tan(\alpha) = -1$. Угол в диапазоне $[0, 180^\circ)$, тангенс которого равен $-1$, это $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

в) Дана функция $h(x) = \frac{1}{3}e^{1-3x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

1. Находим производную функции:

$h'(x) = \left(\frac{1}{3}e^{1-3x}\right)' = \frac{1}{3} \cdot e^{1-3x} \cdot (1-3x)' = \frac{1}{3} \cdot e^{1-3x} \cdot (-3) = -e^{1-3x}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

$k = h'\left(\frac{1}{3}\right) = -e^{1-3 \cdot \frac{1}{3}} = -e^{1-1} = -e^0 = -1$.

3. Находим угол $\alpha$:

$\tan(\alpha) = -1$. Как и в предыдущем пункте, $\alpha = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

г) Дана функция $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1}$ и точка $x_0 = \sqrt{3}$.

1. Находим производную функции:

$h'(x) = \left(e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1}\right)' = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1\right)' = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \sqrt{3}$:

$k = h'(\sqrt{3}) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^{\frac{3}{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^{1-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Находим угол $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $\alpha = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.