Страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.10. Решите уравнение $f'(x) = a$, если:

а) $f(x) = 3e^{x+4}, a = \frac{3}{e};$

б) $f(x) = 2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13}, a = -2;$;

в) $f(x) = 2e^{-7x+9}, a = -14;$;

г) $f(x) = 42 - e^{0,1x-4}, a = 0,1.$

Чтобы решить уравнение $f'(x) = a$, необходимо сначала найти производную функции $f(x)$, а затем приравнять ее к заданному значению $a$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

а) Дано: $f(x) = 3e^{x+4}$ и $a = \frac{3}{e}$.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (3e^{x+4})' = 3 \cdot e^{x+4} \cdot (x+4)' = 3 \cdot e^{x+4} \cdot 1 = 3e^{x+4}$.

2. Приравняем производную к значению $a$ и решим уравнение:

$3e^{x+4} = \frac{3}{e}$

Разделим обе части на 3:

$e^{x+4} = \frac{1}{e}$

Представим $\frac{1}{e}$ как $e^{-1}$:

$e^{x+4} = e^{-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x + 4 = -1$

$x = -1 - 4$

$x = -5$

Ответ: $x = -5$.

б) Дано: $f(x) = 2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13}$ и $a = -2$.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13})' = (2)' + (\frac{1}{3}e^{-6x-13})' = 0 + \frac{1}{3} \cdot e^{-6x-13} \cdot (-6x-13)' = \frac{1}{3}e^{-6x-13} \cdot (-6) = -2e^{-6x-13}$.

2. Приравняем производную к значению $a$ и решим уравнение:

$-2e^{-6x-13} = -2$

Разделим обе части на -2:

$e^{-6x-13} = 1$

Представим 1 как $e^0$:

$e^{-6x-13} = e^0$

Приравниваем показатели степеней:

$-6x - 13 = 0$

$-6x = 13$

$x = -\frac{13}{6}$

Ответ: $x = -\frac{13}{6}$.

в) Дано: $f(x) = 2e^{-7x+9}$ и $a = -14$.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (2e^{-7x+9})' = 2 \cdot e^{-7x+9} \cdot (-7x+9)' = 2e^{-7x+9} \cdot (-7) = -14e^{-7x+9}$.

2. Приравняем производную к значению $a$ и решим уравнение:

$-14e^{-7x+9} = -14$

Разделим обе части на -14:

$e^{-7x+9} = 1$

Представим 1 как $e^0$:

$e^{-7x+9} = e^0$

Приравниваем показатели степеней:

$-7x + 9 = 0$

$-7x = -9$

$x = \frac{-9}{-7} = \frac{9}{7}$

Ответ: $x = \frac{9}{7}$.

г) Дано: $f(x) = 42 - e^{0,1x-4}$ и $a = 0,1$.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (42 - e^{0,1x-4})' = (42)' - (e^{0,1x-4})' = 0 - e^{0,1x-4} \cdot (0,1x-4)' = -e^{0,1x-4} \cdot 0,1 = -0,1e^{0,1x-4}$.

2. Приравняем производную к значению $a$ и решим уравнение:

$-0,1e^{0,1x-4} = 0,1$

Разделим обе части на -0,1:

$e^{0,1x-4} = -1$

Показательная функция $y = e^z$ принимает только положительные значения ($e^z > 0$) для любого действительного $z$. Следовательно, уравнение $e^{0,1x-4} = -1$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: уравнение не имеет корней.

19.11. Решите неравенство $g'(x) < a$, если:

а) $g(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}$, $a = \frac{1}{e^3}$;

б) $g(x) = x + e^{4x-3}$, $a = 5$;

в) $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}$, $a = \frac{1}{e}$;

г) $g(x) = e^{9x+21} - x$, $a = 8$.

а)

Дана функция $g(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}$ и значение $a = \frac{1}{e^3}$.

Сначала найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

$g'(x) = \left(6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}\right)' = 0 - \frac{1}{2} \cdot e^{2x-3} \cdot (2x-3)' = -\frac{1}{2} \cdot e^{2x-3} \cdot 2 = -e^{2x-3}$.

Теперь решим неравенство $g'(x) < a$:

$-e^{2x-3} < \frac{1}{e^3}$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$e^{2x-3} > -\frac{1}{e^3}$.

Значение показательной функции $e^y$ всегда положительно для любого действительного аргумента $y$. В правой части неравенства стоит отрицательное число $-\frac{1}{e^3}$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Дана функция $g(x) = x + e^{4x-3}$ и значение $a = 5$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (x + e^{4x-3})' = 1 + e^{4x-3} \cdot (4x-3)' = 1 + 4e^{4x-3}$.

Решим неравенство $g'(x) < a$:

$1 + 4e^{4x-3} < 5$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$4e^{4x-3} < 4$.

Разделим обе части на 4:

$e^{4x-3} < 1$.

Поскольку $1 = e^0$, неравенство можно переписать в виде:

$e^{4x-3} < e^0$.

Так как основание показательной функции $e > 1$, функция является возрастающей, и мы можем перейти к неравенству для показателей степени:

$4x - 3 < 0$.

$4x < 3$.

$x < \frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{4})$.

в)

Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}$ и значение $a = \frac{1}{e}$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = \left(\frac{1}{3}e^{3x+5}\right)' = \frac{1}{3} \cdot e^{3x+5} \cdot (3x+5)' = \frac{1}{3} \cdot e^{3x+5} \cdot 3 = e^{3x+5}$.

Решим неравенство $g'(x) < a$:

$e^{3x+5} < \frac{1}{e}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $e$: $\frac{1}{e} = e^{-1}$.

$e^{3x+5} < e^{-1}$.

Так как основание $e > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$3x + 5 < -1$.

$3x < -1 - 5$.

$3x < -6$.

$x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

г)

Дана функция $g(x) = e^{9x+21} - x$ и значение $a = 8$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (e^{9x+21} - x)' = e^{9x+21} \cdot (9x+21)' - 1 = 9e^{9x+21} - 1$.

Решим неравенство $g'(x) < a$:

$9e^{9x+21} - 1 < 8$.

Прибавим 1 к обеим частям:

$9e^{9x+21} < 9$.

Разделим обе части на 9:

$e^{9x+21} < 1$.

Представим 1 как $e^0$:

$e^{9x+21} < e^0$.

Так как основание $e > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$9x + 21 < 0$.

$9x < -21$.

$x < -\frac{21}{9}$.

Сократим дробь:

$x < -\frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{3})$.

19.12. Напишите уравнение касательной к графику функции

$y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

а) $y = e^x$, $a = 1$;

б) $y = e^x$, $a = 2$;

в) $y = e^x$, $a = 0$;

г) $y = e^x$, $a = -1$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ задается формулой:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

В данной задаче функция $f(x) = e^x$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$

Теперь применим эту формулу для каждого из случаев.

а) $y = e^x, a = 1;$

1. Найдем значение функции в точке касания $a = 1$:
$f(a) = f(1) = e^1 = e$.

2. Найдем значение производной в точке касания $a = 1$. Это будет угловой коэффициент касательной:
$f'(a) = f'(1) = e^1 = e$.

3. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=e$ и $f'(1)=e$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x-1)$
$y = e + e(x - 1)$
$y = e + ex - e$
$y = ex$

Ответ: $y = ex$.

б) $y = e^x, a = 2;$

1. Найдем значение функции в точке касания $a = 2$:
$f(a) = f(2) = e^2$.

2. Найдем значение производной в точке касания $a = 2$:
$f'(a) = f'(2) = e^2$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x-2)$
$y = e^2 + e^2(x - 2)$
$y = e^2 + e^2x - 2e^2$
$y = e^2x - e^2$

Ответ: $y = e^2x - e^2$.

в) $y = e^x, a = 0;$

1. Найдем значение функции в точке касания $a = 0$:
$f(a) = f(0) = e^0 = 1$.

2. Найдем значение производной в точке касания $a = 0$:
$f'(a) = f'(0) = e^0 = 1$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x-0)$
$y = 1 + 1(x - 0)$
$y = 1 + x$

Ответ: $y = x + 1$.

г) $y = e^x, a = -1.$

1. Найдем значение функции в точке касания $a = -1$:
$f(a) = f(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

2. Найдем значение производной в точке касания $a = -1$:
$f'(a) = f'(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$
$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x + 1)$
$y = \frac{1}{e} + \frac{x}{e} + \frac{1}{e}$
$y = \frac{x}{e} + \frac{2}{e}$

Ответ: $y = \frac{x+2}{e}$.

19.13. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a: $

a) $y = e^{3x-1}, a = \frac{1}{3};$

б) $y = xe^{-2x+1}, a = 0,5;$

в) $y = \frac{2}{e^x}, a = 0;$

г) $y = \frac{e^x}{x+1}, a = 0.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ следующий:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

а) $y = e^{3x-1}, a = \frac{1}{3}$
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(a) = f(\frac{1}{3}) = e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = e^{1-1} = e^0 = 1$.
2. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{3x-1})' = e^{3x-1} \cdot (3x-1)' = 3e^{3x-1}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(a) = f'(\frac{1}{3}) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = 3e^{1-1} = 3e^0 = 3$.
4. Подставим найденные значения $a = \frac{1}{3}$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = 3$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 3(x - \frac{1}{3}) = 1 + 3x - 1 = 3x$.
Ответ: $y = 3x$.

б) $y = xe^{-2x+1}, a = 0,5$
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(a) = f(0,5) = 0,5 \cdot e^{-2 \cdot 0,5 + 1} = 0,5 \cdot e^{-1+1} = 0,5 \cdot e^0 = 0,5$.
2. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (xe^{-2x+1})' = (x)' \cdot e^{-2x+1} + x \cdot (e^{-2x+1})' = 1 \cdot e^{-2x+1} + x \cdot e^{-2x+1} \cdot (-2) = e^{-2x+1}(1-2x)$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(a) = f'(0,5) = e^{-2 \cdot 0,5 + 1}(1-2 \cdot 0,5) = e^{-1+1}(1-1) = e^0 \cdot 0 = 0$.
4. Подставим найденные значения $a = 0,5$, $f(a) = 0,5$ и $f'(a) = 0$ в уравнение касательной:
$y = 0,5 + 0(x - 0,5) = 0,5$.
Ответ: $y = 0,5$.

в) $y = \frac{2}{e^x}, a = 0$
Представим функцию в виде $y = 2e^{-x}$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(a) = f(0) = 2e^{-0} = 2 \cdot 1 = 2$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2e^{-x})' = 2 \cdot e^{-x} \cdot (-1) = -2e^{-x}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(a) = f'(0) = -2e^{-0} = -2 \cdot 1 = -2$.
4. Подставим найденные значения $a = 0$, $f(a) = 2$ и $f'(a) = -2$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-2)(x - 0) = 2 - 2x$.
Ответ: $y = -2x + 2$.

г) $y = \frac{e^x}{x+1}, a = 0$
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(a) = f(0) = \frac{e^0}{0+1} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = (\frac{e^x}{x+1})' = \frac{(e^x)'(x+1) - e^x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(a) = f'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0+1)^2} = \frac{0}{1} = 0$.
4. Подставим найденные значения $a = 0$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = 0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0(x - 0) = 1$.
Ответ: $y = 1$.

19.14. Является ли заданная прямая касательной к графику заданной функции в указанной точке:

а) $y = 3e^2x - 3e^2$; $y = e^{3x-1} - e^2$; $x = 1$;

б) $y = x + e$; $y = xe^x$; $x = 0$?

Чтобы определить, является ли заданная прямая касательной к графику функции в указанной точке, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Значение функции и значение прямой в указанной точке $x_0$ должны быть равны. Это означает, что прямая и график функции проходят через одну и ту же точку.
2. Угловой коэффициент прямой должен быть равен значению производной функции в точке $x_0$.

а) Проверим, является ли прямая $y = 3e^2x - 3e^2$ касательной к графику функции $y = e^{3x-1} - e^2$ в точке $x = 1$.

1. Проверка общей точки.
Найдем значение функции при $x_0 = 1$:
$f(1) = e^{3 \cdot 1 - 1} - e^2 = e^2 - e^2 = 0$.
Найдем значение для прямой при $x_0 = 1$:
$y(1) = 3e^2 \cdot 1 - 3e^2 = 3e^2 - 3e^2 = 0$.
Поскольку $f(1) = y(1) = 0$, первое условие выполняется. Точка касания — $(1, 0)$.

2. Проверка равенства угловых коэффициентов.
Угловой коэффициент заданной прямой $y = 3e^2x - 3e^2$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k = 3e^2$.
Теперь найдем производную функции $f(x) = e^{3x-1} - e^2$:
$f'(x) = (e^{3x-1} - e^2)' = (e^{3x-1})' - (e^2)' = e^{3x-1} \cdot (3x-1)' - 0 = 3e^{3x-1}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 3e^{3 \cdot 1 - 1} = 3e^2$.
Угловой коэффициент прямой ($k=3e^2$) равен значению производной в точке $x_0=1$ ($f'(1)=3e^2$). Второе условие также выполняется.

Так как оба условия выполнены, данная прямая является касательной к графику функции в указанной точке.

Ответ: Да.

б) Проверим, является ли прямая $y = x + e$ касательной к графику функции $y = xe^x$ в точке $x = 0$.

1. Проверка общей точки.
Найдем значение функции при $x_0 = 0$:
$f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.
Найдем значение для прямой при $x_0 = 0$:
$y(0) = 0 + e = e$.
Получаем, что $f(0) = 0$, а $y(0) = e$. Поскольку $0 \neq e$, значения не совпадают. Первое условие не выполняется.

Так как прямая и график функции не проходят через общую точку при $x=0$, данная прямая не может быть касательной к графику в этой точке. Дальнейшая проверка не имеет смысла.

Ответ: Нет.

19.15. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

a) $y = xe^{2x-1}$, $a = \frac{1}{2}$;

б) $y = (2x + 1)e^{1-2x}$, $a = \frac{1}{2}$.

а)

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ следующий:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

В данном случае, функция $f(x) = xe^{2x-1}$ и $a = \frac{1}{2}$.

1. Найдем значение функции в точке касания $a = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot e^{1 - 1} = \frac{1}{2} \cdot e^0 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$u = x, v = e^{2x-1}$

$u' = 1, v' = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = 2e^{2x-1}$

$f'(x) = 1 \cdot e^{2x-1} + x \cdot 2e^{2x-1} = e^{2x-1}(1+2x)$.

3. Найдем значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}(1 + 2 \cdot \frac{1}{2}) = e^{1-1}(1+1) = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = \frac{1}{2}$, $f'(a) = 2$ и $a = \frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + 2(x - \frac{1}{2})$

$y = \frac{1}{2} + 2x - 2 \cdot \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2} + 2x - 1$

$y = 2x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = 2x - \frac{1}{2}$.

б)

Используем то же общее уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Здесь функция $f(x) = (2x + 1)e^{1-2x}$ и $a = \frac{1}{2}$.

1. Найдем значение функции в точке касания $a = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = (2 \cdot \frac{1}{2} + 1)e^{1 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = (1+1)e^{1-1} = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Снова используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$u = 2x+1, v = e^{1-2x}$

$u' = 2, v' = e^{1-2x} \cdot (1-2x)' = -2e^{1-2x}$

$f'(x) = 2 \cdot e^{1-2x} + (2x+1) \cdot (-2e^{1-2x}) = e^{1-2x}(2 - 2(2x+1)) = e^{1-2x}(2 - 4x - 2) = -4xe^{1-2x}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$:

$f'(\frac{1}{2}) = -4 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{1 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = -2e^{1-1} = -2e^0 = -2 \cdot 1 = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 2$, $f'(a) = -2$ и $a = \frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - \frac{1}{2})$

$y = 2 - 2x + 2 \cdot \frac{1}{2}$

$y = 2 - 2x + 1$

$y = -2x + 3$

Ответ: $y = -2x + 3$.

19.16. a) Напишите уравнение той касательной к графику функции $y = e^{2x}$, которая параллельна прямой $y = 2ex - 5$.

б) Докажите, что касательная к графику функции $y = e^{x^3-x}$ в точке $x = 1$ параллельна прямой $y = 2x + 3$.

а)

Чтобы найти уравнение касательной, нам необходимо знать угловой коэффициент и точку касания.

1. Условие параллельности прямой и касательной заключается в том, что их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой дано в виде $y = 2ex - 5$. Ее угловой коэффициент $k$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k = 2e$.

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $f'(x_0)$. Найдем производную функции $y = e^{2x}$:
$f'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

3. Приравняем угловой коэффициент касательной к угловому коэффициенту данной прямой, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 2e$
$2e^{2x_0} = 2e$
$e^{2x_0} = e^1$
Из равенства следует, что показатели степеней равны:
$2x_0 = 1 \implies x_0 = \frac{1}{2}$.

4. Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = \frac{1}{2}$ в исходное уравнение функции $y = e^{2x}$:
$y_0 = e^{2 \cdot \frac{1}{2}} = e^1 = e$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{2}, e)$.

5. Общее уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)$. Подставим найденные значения:
$y = e + 2e(x - \frac{1}{2})$
$y = e + 2ex - e$
$y = 2ex$.

Ответ: $y = 2ex$.

б)

Чтобы доказать, что касательная к графику функции $y = e^{x^3 - x}$ в точке $x = 1$ параллельна прямой $y = 2x + 3$, необходимо показать, что их угловые коэффициенты равны.

1. Угловой коэффициент прямой $y = 2x + 3$ равен $k_1 = 2$.

2. Угловой коэффициент касательной $k_2$ в точке $x_0 = 1$ равен значению производной функции $f(x) = e^{x^3 - x}$ в этой точке. Найдем производную:
$f'(x) = (e^{x^3 - x})' = e^{x^3 - x} \cdot (x^3 - x)' = e^{x^3 - x} \cdot (3x^2 - 1)$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k_2 = f'(1) = e^{1^3 - 1} \cdot (3 \cdot 1^2 - 1)$
$k_2 = e^{1 - 1} \cdot (3 - 1)$
$k_2 = e^0 \cdot 2$
$k_2 = 1 \cdot 2 = 2$.

4. Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = 2$ и $k_2 = 2$. Так как $k_1 = k_2$, то касательная к графику функции в точке $x=1$ действительно параллельна прямой $y = 2x + 3$.

Ответ: Доказано.