Страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$:

20.1. a) $F(x) = x^2 + x^3 + 3 \sin x + 1$,
$f(x) = 2x + 3x^2 + 3 \cos x;$

б) $F(x) = x^{11} + x^4 - 3 - 4 \cos x$,
$f(x) = 11x^{10} + 4x^3 + 4 \sin x;$

в) $F(x) = 7\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$, $f(x) = \frac{\sqrt[14]{x^9} - 1}{x\sqrt{x}};$

г) $F(x) = e^{x^2 - 3x}$, $f(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}.$

Для того чтобы доказать, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что она равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

а)

Найдём производную функции $F(x) = x^2 + x^3 + 3 \sin x + 1$.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, получаем:

$F'(x) = (x^2 + x^3 + 3 \sin x + 1)' = (x^2)' + (x^3)' + (3 \sin x)' + (1)'$

$F'(x) = 2x + 3x^2 + 3 \cos x + 0 = 2x + 3x^2 + 3 \cos x$.

Сравним полученную производную с данной функцией $f(x) = 2x + 3x^2 + 3 \cos x$.

Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

б)

Найдём производную функции $F(x) = x^{11} + x^4 - 3 - 4 \cos x$.

Применяя правила дифференцирования:

$F'(x) = (x^{11} + x^4 - 3 - 4 \cos x)' = (x^{11})' + (x^4)' - (3)' - (4 \cos x)'$

$F'(x) = 11x^{10} + 4x^3 - 0 - 4(-\sin x) = 11x^{10} + 4x^3 + 4 \sin x$.

Сравним результат с функцией $f(x) = 11x^{10} + 4x^3 + 4 \sin x$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

в)

Чтобы найти производную функции $F(x) = 7\sqrt[7]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$, представим её в виде степенных функций:

$F(x) = 7x^{1/7} + 2x^{-1/2}$.

Найдём производную, используя правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (7x^{1/7} + 2x^{-1/2})' = 7 \cdot \frac{1}{7}x^{1/7 - 1} + 2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = x^{-6/7} - x^{-3/2}$.

Теперь преобразуем данную функцию $f(x) = \frac{\sqrt[14]{x^9} - 1}{x\sqrt{x}}$ к такому же виду. Сначала запишем ее через степени:

$f(x) = \frac{x^{9/14} - 1}{x^1 \cdot x^{1/2}} = \frac{x^{9/14} - 1}{x^{3/2}}$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$f(x) = \frac{x^{9/14}}{x^{3/2}} - \frac{1}{x^{3/2}} = x^{9/14 - 3/2} - x^{-3/2}$.

Приведем степени к общему знаменателю 14: $3/2 = 21/14$.

$f(x) = x^{9/14 - 21/14} - x^{-3/2} = x^{-12/14} - x^{-3/2} = x^{-6/7} - x^{-3/2}$.

Таким образом, мы получили, что $F'(x) = x^{-6/7} - x^{-3/2}$ и $f(x) = x^{-6/7} - x^{-3/2}$.

Ответ: Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

г)

Найдём производную функции $F(x) = e^{x^2 - 3x}$.

Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

В данном случае $u(x) = x^2 - 3x$, а её производная $u'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$.

Тогда производная функции $F(x)$ равна:

$F'(x) = e^{x^2 - 3x} \cdot (x^2 - 3x)' = e^{x^2 - 3x} \cdot (2x - 3) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$.

Сравним результат с функцией $f(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

20.2. a) $F(x) = -\frac{3}{x} + \frac{x^3}{3}$, $f(x) = \frac{3}{x^2} + x^2$;

б) $F(x) = \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{2x}$, $f(x) = 8x^3 - 4,5x^2 + x + \frac{1}{2x^2}$;

в) $F(x) = \frac{5}{x} - \frac{x^5}{5}$, $f(x) = -\frac{5}{x^2} - x^4$;

г) $F(x) = \frac{5x^7 - 4x^5 + 2x}{x^2}$, $f(x) = 25x^4 - 12x^2 - \frac{2}{x^2}$.

Чтобы определить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $F'(x) = f(x)$.

а) Даны функции $F(x) = -\frac{3}{x} + \frac{x^3}{3}$ и $f(x) = \frac{3}{x^2} + x^2$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для удобства перепишем $F(x)$ в виде $F(x) = -3x^{-1} + \frac{1}{3}x^3$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = (-3x^{-1} + \frac{1}{3}x^3)' = (-3)(-1)x^{-1-1} + \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = 3x^{-2} + x^2 = \frac{3}{x^2} + x^2$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

б) Даны функции $F(x) = \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{2x}$ и $f(x) = 8x^3 - 4,5x^2 + x + \frac{1}{2x^2}$.

Сначала упростим выражение для $F(x)$, разделив почленно числитель на знаменатель:

$F(x) = \frac{4x^5}{2x} - \frac{3x^4}{2x} + \frac{x^3}{2x} - \frac{1}{2x} = 2x^4 - \frac{3}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^{-1}$.

Теперь найдем производную $F'(x)$:

$F'(x) = (2x^4 - 1,5x^3 + 0,5x^2 - 0,5x^{-1})' = 2 \cdot 4x^3 - 1,5 \cdot 3x^2 + 0,5 \cdot 2x^1 - 0,5 \cdot (-1)x^{-2} = 8x^3 - 4,5x^2 + x + 0,5x^{-2} = 8x^3 - 4,5x^2 + x + \frac{1}{2x^2}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

в) Даны функции $F(x) = \frac{5}{x} - \frac{x^5}{5}$ и $f(x) = -\frac{5}{x^2} - x^4$.

Найдем производную функции $F(x)$. Перепишем $F(x)$ в виде $F(x) = 5x^{-1} - \frac{1}{5}x^5$.

Дифференцируем $F(x)$:

$F'(x) = (5x^{-1} - \frac{1}{5}x^5)' = 5(-1)x^{-1-1} - \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} = -5x^{-2} - x^4 = -\frac{5}{x^2} - x^4$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

г) Даны функции $F(x) = \frac{5x^7 - 4x^5 + 2x}{x^2}$ и $f(x) = 25x^4 - 12x^2 - \frac{2}{x^2}$.

Упростим выражение для $F(x)$:

$F(x) = \frac{5x^7}{x^2} - \frac{4x^5}{x^2} + \frac{2x}{x^2} = 5x^5 - 4x^3 + 2x^{-1}$.

Найдем производную $F'(x)$:

$F'(x) = (5x^5 - 4x^3 + 2x^{-1})' = 5 \cdot 5x^{5-1} - 4 \cdot 3x^{3-1} + 2(-1)x^{-1-1} = 25x^4 - 12x^2 - 2x^{-2} = 25x^4 - 12x^2 - \frac{2}{x^2}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

20.3. а) $F(x) = 4\sqrt{x} + \tan x$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\cos^2 x}$;

б) $F(x) = 3 \cot x - \sqrt{x}$, $f(x) = - \frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

в) $F(x) = \ln (2x - 1) - \frac{1}{2x - 1}$, $f(x) = \frac{4x}{(2x - 1)^2}$;

г) $F(x) = \frac{5}{3} \sqrt[5]{\sin^3 x}$, $f(x) = \frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}$.

Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$, то утверждение верно.

а) Даны функции $F(x) = 4\sqrt{x} + \operatorname{tg} x$ и $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\cos^2 x}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (4\sqrt{x} + \operatorname{tg} x)' = (4x^{1/2})' + (\operatorname{tg} x)'$

Используем правила дифференцирования:

$(4x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Складываем полученные производные:

$F'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\cos^2 x}$

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

б) Даны функции $F(x) = 3 \operatorname{ctg} x - \sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3 \operatorname{ctg} x - \sqrt{x})' = (3 \operatorname{ctg} x)' - (x^{1/2})'$

Используем правила дифференцирования:

$(3 \operatorname{ctg} x)' = 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{3}{\sin^2 x}$

$(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Выполняем вычитание:

$F'(x) = -\frac{3}{\sin^2 x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

в) Даны функции $F(x) = \ln(2x-1) - \frac{1}{2x-1}$ и $f(x) = \frac{4x}{(2x-1)^2}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\ln(2x-1) - (2x-1)^{-1})'$

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$(\ln(2x-1))' = \frac{1}{2x-1} \cdot (2x-1)' = \frac{2}{2x-1}$

$(-(2x-1)^{-1})' = -(-1)(2x-1)^{-2} \cdot (2x-1)' = (2x-1)^{-2} \cdot 2 = \frac{2}{(2x-1)^2}$

Складываем полученные производные:

$F'(x) = \frac{2}{2x-1} + \frac{2}{(2x-1)^2}$

Приводим к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{2(2x-1)}{(2x-1)^2} + \frac{2}{(2x-1)^2} = \frac{4x-2+2}{(2x-1)^2} = \frac{4x}{(2x-1)^2}$

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

г) Даны функции $F(x) = \frac{5}{3}\sqrt[5]{\sin^3 x}$ и $f(x) = \frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}$.

Представим $F(x)$ в виде степени: $F(x) = \frac{5}{3}(\sin x)^{3/5}$.

Найдем производную функции $F(x)$ используя цепное правило:

$F'(x) = \left(\frac{5}{3}(\sin x)^{3/5}\right)' = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}(\sin x)^{3/5 - 1} \cdot (\sin x)'$

$F'(x) = 1 \cdot (\sin x)^{-2/5} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{(\sin x)^{2/5}}$

Перепишем результат в виде корня:

$F'(x) = \frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}$

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.