Страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через указанную точку M:

20.23. а) $y = 1 + \text{tg}^2 x$, $M\left(\frac{\pi}{3}; 5\right)$

б) $y = 2 + 2\text{ctg}^2 x$, $M\left(\frac{\pi}{4}; -3\right)$

в) $y = 3 + \text{tg}^2 x$, $M\left(-\frac{\pi}{6}; 4\right)$

г) $y = \text{ctg}^2 x - 9$, $M\left(-\frac{\pi}{3}; -21\right)$

а)

Дана функция $y = 1 + \operatorname{tg}^2 x$ и точка $M(\frac{\pi}{3}; 5)$.

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y=f(x)$, график которой проходит через точку $M$, то есть $F(\frac{\pi}{3}) = 5$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 1 + \operatorname{tg}^2 x$. Используем тригонометрическое тождество: $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Тогда $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Общий вид первообразной $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \operatorname{tg} x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; 5)$. Это означает, что при $x = \frac{\pi}{3}$, значение $F(x)$ равно 5.

$F(\frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) + C = 5$.

Найдем значение тангенса: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим это значение в уравнение:

$\sqrt{3} + C = 5$.

Отсюда находим $C$: $C = 5 - \sqrt{3}$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \operatorname{tg} x + 5 - \sqrt{3}$.

Ответ: $F(x) = \operatorname{tg} x + 5 - \sqrt{3}$.

б)

Дана функция $y = 2 + 2\operatorname{ctg}^2 x$ и точка $M(\frac{\pi}{4}; -3)$.

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 2 + 2\operatorname{ctg}^2 x$.

Вынесем общий множитель: $f(x) = 2(1 + \operatorname{ctg}^2 x)$.

Используем тригонометрическое тождество: $1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Тогда $f(x) = 2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin^2 x}$.

Общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int \frac{2}{\sin^2 x} \,dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = 2(-\operatorname{ctg} x) + C = -2\operatorname{ctg} x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; -3)$, то есть $F(\frac{\pi}{4}) = -3$.

$F(\frac{\pi}{4}) = -2\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) + C = -3$.

Найдем значение котангенса: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставим это значение в уравнение:

$-2(1) + C = -3$.

$-2 + C = -3$.

$C = -3 + 2 = -1$.

Искомая первообразная: $F(x) = -2\operatorname{ctg} x - 1$.

Ответ: $F(x) = -2\operatorname{ctg} x - 1$.

в)

Дана функция $y = 3 + \operatorname{tg}^2 x$ и точка $M(-\frac{\pi}{6}; 4)$.

Представим функцию $f(x) = 3 + \operatorname{tg}^2 x$ в удобном для интегрирования виде. Используем тождество $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$f(x) = 2 + (1 + \operatorname{tg}^2 x) = 2 + \frac{1}{\cos^2 x}$.

Теперь найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (2 + \frac{1}{\cos^2 x}) \,dx = \int 2 \,dx + \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = 2x + \operatorname{tg} x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-\frac{\pi}{6}; 4)$, то есть $F(-\frac{\pi}{6}) = 4$.

$F(-\frac{\pi}{6}) = 2(-\frac{\pi}{6}) + \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) + C = 4$.

Найдем значения: $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим в уравнение:

$-\frac{2\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + C = 4$.

$-\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} + C = 4$.

Отсюда находим $C$: $C = 4 + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2x + \operatorname{tg} x + 4 + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $F(x) = 2x + \operatorname{tg} x + 4 + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

г)

Дана функция $y = \operatorname{ctg}^2 x - 9$ и точка $M(-\frac{\pi}{3}; -21)$.

Представим функцию $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x - 9$ в удобном для интегрирования виде. Используем тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, откуда $\operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1$.

$f(x) = (\frac{1}{\sin^2 x} - 1) - 9 = \frac{1}{\sin^2 x} - 10$.

Теперь найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (\frac{1}{\sin^2 x} - 10) \,dx = \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx - \int 10 \,dx = -\operatorname{ctg} x - 10x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-\frac{\pi}{3}; -21)$, то есть $F(-\frac{\pi}{3}) = -21$.

$F(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3}) - 10(-\frac{\pi}{3}) + C = -21$.

Найдем значения: $\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим в уравнение:

$-(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{10\pi}{3} + C = -21$.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{10\pi}{3} + C = -21$.

Отсюда находим $C$: $C = -21 - \frac{10\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Искомая первообразная: $F(x) = -\operatorname{ctg} x - 10x - 21 - \frac{10\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\operatorname{ctg} x - 10x - 21 - \frac{10\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

ο20.24.

a) $y = \sin\frac{x}{6}\cos\frac{5x}{6} + \cos\frac{x}{6}\sin\frac{5x}{6}$, $M\left(\frac{3\pi}{4}; 21\right)$;

б) $y = \cos\frac{x}{5}\cos\frac{4x}{5} - \sin\frac{x}{5}\sin\frac{4x}{5}$, $M\left(\frac{5\pi}{6}; -9\right)$;

в) $y = \sin\frac{7x}{6}\cos\frac{x}{6} - \sin\frac{x}{6}\cos\frac{7x}{6}$, $M\left(-\frac{3\pi}{4}; 10\right)$;

г) $y = \cos\frac{13x}{11}\cos\frac{2x}{11} + \sin\frac{13x}{11}\sin\frac{2x}{11}$, $M\left(\frac{2\pi}{3}; -6\right)$.

а) Чтобы проверить, принадлежит ли точка $M(\frac{3\pi}{4}; 21)$ графику функции $y = \sin\frac{x}{6}\cos\frac{5x}{6} + \cos\frac{x}{6}\sin\frac{5x}{6}$, мы сначала упростим данное тригонометрическое выражение. Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
В данном случае $\alpha = \frac{x}{6}$ и $\beta = \frac{5x}{6}$.
Тогда функция принимает вид:
$y = \sin(\frac{x}{6} + \frac{5x}{6}) = \sin(\frac{6x}{6}) = \sin(x)$.
Теперь подставим координаты точки $M$ в упрощенное уравнение функции. Абсцисса точки $x = \frac{3\pi}{4}$. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравним полученное значение с ординатой точки $M$, которая равна 21.
Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 21$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.
Ответ: точка M не принадлежит графику функции.

б) Проверим, принадлежит ли точка $M(\frac{5\pi}{6}; -9)$ графику функции $y = \cos\frac{x}{5}\cos\frac{4x}{5} - \sin\frac{x}{5}\sin\frac{4x}{5}$.
Упростим выражение для функции, используя формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Здесь $\alpha = \frac{x}{5}$ и $\beta = \frac{4x}{5}$.
Функция упрощается до:
$y = \cos(\frac{x}{5} + \frac{4x}{5}) = \cos(\frac{5x}{5}) = \cos(x)$.
Подставим абсциссу точки $M$, $x = \frac{5\pi}{6}$, в полученное уравнение:
$y = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ордината точки $M$ равна -9.
Так как $-\frac{\sqrt{3}}{2} \neq -9$, точка $M$ не лежит на графике данной функции.
Ответ: точка M не принадлежит графику функции.

в) Определим, принадлежит ли точка $M(-\frac{3\pi}{4}; 10)$ графику функции $y = \sin\frac{7x}{6}\cos\frac{x}{6} - \sin\frac{x}{6}\cos\frac{7x}{6}$.
Выражение для функции можно упростить, применив формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{7x}{6}$ и $\beta = \frac{x}{6}$.
Таким образом, функция имеет вид:
$y = \sin(\frac{7x}{6} - \frac{x}{6}) = \sin(\frac{6x}{6}) = \sin(x)$.
Подставим абсциссу точки $M$, $x = -\frac{3\pi}{4}$, в это уравнение:
$y = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравним вычисленное значение $y$ с ординатой точки $M$, равной 10.
Поскольку $-\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 10$, точка $M$ не принадлежит графику функции.
Ответ: точка M не принадлежит графику функции.

г) Проверим принадлежность точки $M(\frac{2\pi}{3}; -6)$ графику функции $y = \cos\frac{13x}{11}\cos\frac{2x}{11} + \sin\frac{13x}{11}\sin\frac{2x}{11}$.
Упростим функцию с помощью формулы косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
Здесь $\alpha = \frac{13x}{11}$ и $\beta = \frac{2x}{11}$.
Функция преобразуется к виду:
$y = \cos(\frac{13x}{11} - \frac{2x}{11}) = \cos(\frac{11x}{11}) = \cos(x)$.
Теперь подставим абсциссу точки $M$, $x = \frac{2\pi}{3}$, в упрощенное уравнение:
$y = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Ордината точки $M$ равна -6.
Так как $-\frac{1}{2} \neq -6$, точка $M$ не находится на графике данной функции.
Ответ: точка M не принадлежит графику функции.

Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $y = F(x)$, которая принимает данное значение в указанной точке:

20.25. а) $f(x) = x^5 + 3x^2$, $F(0) = -16$;

б) $f(x) = 14 \sin x$, $F\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 23$;

в) $f(x) = 10e^{5x-4}$, $F(0,8) = 5$;

г) $f(x) = \frac{1}{2 - 3x}$, $F\left(\frac{1}{3}\right) = 1$.

а)

Для функции $f(x) = x^5 + 3x^2$ найдем ее общий вид первообразной $F(x)$. Первообразная функции является ее неопределенным интегралом. $F(x) = \int (x^5 + 3x^2) dx = \int x^5 dx + \int 3x^2 dx$.
Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем: $F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} + 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^6}{6} + 3 \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^6}{6} + x^3 + C$.
Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретную первообразную, используем заданное условие $F(0) = -16$. Подставим $x=0$ в выражение для $F(x)$: $F(0) = \frac{0^6}{6} + 0^3 + C = -16$.
Отсюда $0 + 0 + C = -16$, что означает $C = -16$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной: $F(x) = \frac{x^6}{6} + x^3 - 16$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{6} + x^3 - 16$.

б)

Для функции $f(x) = 14 \sin x$ найдем ее общий вид первообразной $F(x)$. $F(x) = \int 14 \sin x dx = 14 \int \sin x dx$.
Используя табличный интеграл $\int \sin x dx = -\cos x + C$, получаем: $F(x) = 14(-\cos x) + C = -14 \cos x + C$.

Используем заданное условие $F(\frac{3\pi}{2}) = 23$. Подставим $x = \frac{3\pi}{2}$ в выражение для $F(x)$: $F(\frac{3\pi}{2}) = -14 \cos(\frac{3\pi}{2}) + C = 23$.
Так как $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, то уравнение принимает вид: $-14 \cdot 0 + C = 23$, откуда $C = 23$.

Подставляем найденное значение $C$: $F(x) = -14 \cos x + 23$.

Ответ: $F(x) = -14 \cos x + 23$.

в)

Для функции $f(x) = 10e^{5x-4}$ найдем ее общий вид первообразной $F(x)$. $F(x) = \int 10e^{5x-4} dx = 10 \int e^{5x-4} dx$.
Используя формулу для интеграла от экспоненциальной функции $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k} e^{kx+b} + C$, где $k=5$ и $b=-4$: $F(x) = 10 \cdot \frac{1}{5} e^{5x-4} + C = 2e^{5x-4} + C$.

Используем заданное условие $F(0,8) = 5$. Подставим $x=0,8$ в выражение для $F(x)$: $F(0,8) = 2e^{5 \cdot 0,8 - 4} + C = 5$.
$2e^{4 - 4} + C = 5$.
$2e^0 + C = 5$.
Так как $e^0 = 1$, то $2 \cdot 1 + C = 5$, откуда $C = 5 - 2 = 3$.

Подставляем найденное значение $C$: $F(x) = 2e^{5x-4} + 3$.

Ответ: $F(x) = 2e^{5x-4} + 3$.

г)

Для функции $f(x) = \frac{1}{2-3x}$ найдем ее общий вид первообразной $F(x)$. $F(x) = \int \frac{1}{2-3x} dx$.
Используя формулу для интеграла вида $\int \frac{dx}{kx+b} = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$, где $k=-3$ и $b=2$: $F(x) = \frac{1}{-3} \ln|2-3x| + C = -\frac{1}{3} \ln|2-3x| + C$.

Используем заданное условие $F(\frac{1}{3}) = 1$. Подставим $x=\frac{1}{3}$ в выражение для $F(x)$: $F(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} \ln|2 - 3 \cdot \frac{1}{3}| + C = 1$.
$-\frac{1}{3} \ln|2 - 1| + C = 1$.
$-\frac{1}{3} \ln|1| + C = 1$.
Так как $\ln(1) = 0$, то $-\frac{1}{3} \cdot 0 + C = 1$, откуда $C = 1$.

Подставляем найденное значение $C$: $F(x) = -\frac{1}{3} \ln|2-3x| + 1$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3} \ln|2-3x| + 1$.

20.26. a) $f(x) = -2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$, $F\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -15$;

б) $f(x) = \sin x \cos 3x$, $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{5}{12}$;

в) $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}$, $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4,5$;

г) $f(x) = 4 \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2}$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} + 1$.

а)

Задана функция $f(x) = -2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ и условие $F(-\frac{2\pi}{3}) = -15$.

Сначала упростим функцию $f(x)$, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$f(x) = - (2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}) = -\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\sin(x)$.

Теперь найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = -\sin(x)$, вычислив интеграл:

$F(x) = \int (-\sin x) dx = -(-\cos x) + C = \cos x + C$, где $C$ — константа.

Используем заданное условие $F(-\frac{2\pi}{3}) = -15$, чтобы найти значение $C$.

$F(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + C = \cos(\frac{2\pi}{3}) + C = -\frac{1}{2} + C$.

$- \frac{1}{2} + C = -15$

$C = -15 + \frac{1}{2} = -\frac{30}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{29}{2} = -14,5$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \cos x - 14,5$.

Ответ: $F(x) = \cos x - 14,5$.

б)

Задана функция $f(x) = \sin x \cos 3x$ и условие $F(\frac{\pi}{3}) = \frac{5}{12}$.

Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму по формуле $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

$f(x) = \frac{1}{2}(\sin(x+3x) + \sin(x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(4x) + \sin(-2x)) = \frac{1}{2}\sin(4x) - \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (\frac{1}{2}\sin(4x) - \frac{1}{2}\sin(2x)) dx = \frac{1}{2} \int \sin(4x) dx - \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx$.

$F(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{4}\cos(4x)) - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\cos(2x)) + C = -\frac{1}{8}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{3}) = \frac{5}{12}$ для нахождения $C$.

$F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{8}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) + C = -\frac{1}{8}\cos(\frac{4\pi}{3}) + \frac{1}{4}\cos(\frac{2\pi}{3}) + C$.

Так как $\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{8}(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{4}(-\frac{1}{2}) + C = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} + C = -\frac{1}{16} + C$.

$-\frac{1}{16} + C = \frac{5}{12}$

$C = \frac{5}{12} + \frac{1}{16} = \frac{20}{48} + \frac{3}{48} = \frac{23}{48}$.

Искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{8}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + \frac{23}{48}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{8}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + \frac{23}{48}$.

в)

Задана функция $f(x) = \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}$ и условие $F(\frac{\pi}{2}) = 4,5$.

Упростим функцию $f(x)$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$f(x) = -(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos x$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (-\cos x) dx = -\sin x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{2}) = 4,5$ для нахождения $C$.

$F(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) + C = -1 + C$.

$-1 + C = 4,5$

$C = 4,5 + 1 = 5,5$.

Искомая первообразная:

$F(x) = -\sin x + 5,5$.

Ответ: $F(x) = -\sin x + 5,5$.

г)

Задана функция $f(x) = 4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}$ и условие $F(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + 1$.

Преобразуем произведение косинусов в сумму по формуле $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.

$f(x) = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}-\frac{3x}{2})) = 2(\cos(\frac{4x}{2}) + \cos(-\frac{2x}{2}))$.

$f(x) = 2(\cos(2x) + \cos(-x)) = 2\cos(2x) + 2\cos x$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (2\cos(2x) + 2\cos x) dx = 2\int\cos(2x)dx + 2\int\cos x dx$.

$F(x) = 2(\frac{1}{2}\sin(2x)) + 2\sin x + C = \sin(2x) + 2\sin x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + 1$ для нахождения $C$.

$F(\frac{\pi}{4}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 2\sin(\frac{\pi}{4}) + C = \sin(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{4}) + C$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$F(\frac{\pi}{4}) = 1 + 2(\frac{\sqrt{2}}{2}) + C = 1 + \sqrt{2} + C$.

$1 + \sqrt{2} + C = \sqrt{2} + 1$.

$C = 0$.

Искомая первообразная:

$F(x) = \sin(2x) + 2\sin x$.

Ответ: $F(x) = \sin(2x) + 2\sin x$.