Страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Пусть $a, b, c$ — положительные числа, причём $a \neq 1$. Какие из следующих соотношений являются верными, а какие — нет:

а) $\log_a b + \log_a c = \log_a (b + c)$;

б) $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$;

в) $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$;

г) $\log_a b - \log_a c = \log_a (b - c)$;

д) $\log_a bc = \log_a b \cdot \log_a c$;

е) $\log_a \frac{b}{c} = \frac{\log_a b}{\log_a c}$;

ж) $\log_a b^3 = 3 \log_a b$;

з) $\log_a b^3 = (\log_a b)^3$;

и) $-2 \log_a b = \log_a b^{-2}$;

к) $-2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2}$?

а) Соотношение $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b + c) $ является неверным. Это одна из самых распространенных ошибок при работе с логарифмами. Правильное свойство, называемое логарифмом произведения, гласит: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $. Чтобы показать неверность исходного утверждения, достаточно привести контрпример. Пусть $ a = 2, b = 4, c = 4 $. Левая часть равенства: $ \log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4 $. Правая часть равенства: $ \log_2 (4 + 4) = \log_2 8 = 3 $. Поскольку $ 4 \neq 3 $, соотношение неверно.
Ответ: неверно.

б) Соотношение $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $ является верным. Это одно из фундаментальных свойств логарифмов, которое называется "свойство логарифма произведения". Оно утверждает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.
Ответ: верно.

в) Соотношение $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ является верным. Это еще одно фундаментальное свойство логарифмов, которое называется "свойство логарифма частного". Оно утверждает, что логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя по тому же основанию.
Ответ: верно.

г) Соотношение $ \log_a b - \log_a c = \log_a (b - c) $ является неверным. Правильная формула для разности логарифмов приведена в пункте в): $ \log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c}) $. Приведем контрпример для данного в задании утверждения. Пусть $ a = 2, b = 8, c = 4 $. (Условие $b-c > 0$ выполнено). Левая часть: $ \log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1 $. Правая часть: $ \log_2 (8 - 4) = \log_2 4 = 2 $. Поскольку $ 1 \neq 2 $, соотношение неверно.
Ответ: неверно.

д) Соотношение $ \log_a bc = \log_a b \cdot \log_a c $ является неверным. Здесь перепутаны сложение и умножение. Правильное свойство (см. пункт б)) — это $ \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c $. Приведем контрпример. Пусть $ a = 2, b = 2, c = 4 $. Левая часть: $ \log_2 (2 \cdot 4) = \log_2 8 = 3 $. Правая часть: $ \log_2 2 \cdot \log_2 4 = 1 \cdot 2 = 2 $. Поскольку $ 3 \neq 2 $, соотношение неверно.
Ответ: неверно.

е) Соотношение $ \log_a \frac{b}{c} = \frac{\log_a b}{\log_a c} $ является неверным. Правая часть равенства $ \frac{\log_a b}{\log_a c} $ представляет собой формулу перехода к новому основанию для логарифма $ \log_c b $. Правильная же формула для логарифма частного $ \log_a \frac{b}{c} $ — это $ \log_a b - \log_a c $. Приведем контрпример. Пусть $ a = 2, b = 16, c = 4 $. Левая часть: $ \log_2 \frac{16}{4} = \log_2 4 = 2 $. Правая часть: $ \frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2} = 2 $. В этом случае равенство случайно выполнилось. Возьмем другие числа. Пусть $ a = 2, b = 8, c = 2 $. Левая часть: $ \log_2 \frac{8}{2} = \log_2 4 = 2 $. Правая часть: $ \frac{\log_2 8}{\log_2 2} = \frac{3}{1} = 3 $. Поскольку $ 2 \neq 3 $, соотношение в общем случае неверно.
Ответ: неверно.

ж) Соотношение $ \log_a b^3 = 3 \log_a b $ является верным. Это частный случай свойства "логарифм степени": $ \log_a (x^p) = p \log_a x $. В данном равенстве в качестве $x$ выступает $b$, а в качестве $p$ — число $3$.
Ответ: верно.

з) Соотношение $ \log_a b^3 = (\log_a b)^3 $ является неверным. Это распространенная ошибка, смешивающая логарифм степени и степень логарифма. Как показано в пункте ж), правильная формула: $ \log_a b^3 = 3 \log_a b $. Приведем контрпример. Пусть $ a = 2, b = 2 $. Левая часть: $ \log_2 (2^3) = \log_2 8 = 3 $. Правая часть: $ (\log_2 2)^3 = 1^3 = 1 $. Поскольку $ 3 \neq 1 $, соотношение неверно.
Ответ: неверно.

и) Соотношение $ -2 \log_a b = \log_a b^{-2} $ является верным. Это прямое применение свойства логарифма степени $ p \log_a x = \log_a (x^p) $. Если мы подставим $ p = -2 $ и $ x = b $, то получим в точности указанное равенство.
Ответ: верно.

к) Соотношение $ -2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2} $ является верным. Это равенство является комбинацией предыдущего свойства и определения степени с отрицательным показателем. Из пункта и) мы знаем, что $ -2 \log_a b = \log_a b^{-2} $. По определению степени с отрицательным показателем, $ b^{-2} = \frac{1}{b^2} $. Подставив это в предыдущее равенство, получаем: $ -2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2} $.
Ответ: верно.

2. При каких значениях x верно равенство:

a) $\log_3 x^2 = 2 \log_3 x$;

б) $\log_3 x^2 = -2 \log_3 x$;

в) $\log_3 x^2 = 2 \log_3 |x|$?

Для решения данных задач необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ) для каждой части равенства, а затем проанализировать или решить уравнение в этой области.

Ключевым моментом является различие в областях определения выражений $ \log_a f(x) $ и $ \log_a (f(x)^2) $. Первое определено при $ f(x) > 0 $, а второе — при $ f(x) \neq 0 $. Свойство $ \log_a (b^{2k}) = 2k \log_a |b| $ является обобщением свойства степени логарифма для четных показателей.

а) $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 x $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) данного равенства. Для выражения $ \log_3 x^2 $ в левой части необходимо, чтобы $ x^2 > 0 $, что выполняется для всех $ x \neq 0 $. Для выражения $ 2 \log_3 x $ в правой части необходимо, чтобы $ x > 0 $. Общей областью допустимых значений является пересечение этих двух условий, то есть $ x > 0 $.

На этой области ($ x > 0 $) справедливо логарифмическое тождество $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 x $. Поскольку для $ x > 0 $ верно, что $ |x| = x $, то общая формула $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 |x| $ превращается в данное равенство. Таким образом, равенство верно для всех $ x $ из области его определения.

Ответ: $ x \in (0, +\infty) $.

б) $ \log_3 x^2 = -2 \log_3 x $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения такая же, как и в пункте а), то есть $ x > 0 $. На этой области мы можем использовать тождество $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 x $ и подставить его в исходное уравнение:

$ 2 \log_3 x = -2 \log_3 x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 2 \log_3 x + 2 \log_3 x = 0 $

$ 4 \log_3 x = 0 $

$ \log_3 x = 0 $

По определению логарифма, это означает, что $ x = 3^0 $, то есть $ x = 1 $. Найденное значение $ x = 1 $ принадлежит ОДЗ ($ 1 > 0 $), следовательно, является решением.

Ответ: $ x = 1 $.

в) $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 |x| $

Найдем ОДЗ. Для левой части $ \log_3 x^2 $ требуется $ x^2 > 0 $, то есть $ x \neq 0 $. Для правой части $ 2 \log_3 |x| $ требуется $ |x| > 0 $, что также означает $ x \neq 0 $. Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $ x \neq 0 $.

Рассмотрим само равенство. Оно представляет собой фундаментальное свойство логарифма для четной степени. Мы можем доказать это, представив $ x^2 $ как $ |x|^2 $. Тогда левая часть примет вид:

$ \log_3 x^2 = \log_3 (|x|^2) $

Поскольку для любого $ x $ из ОДЗ ($ x \neq 0 $) выражение $ |x| $ строго положительно, мы можем применить свойство вынесения показателя степени из-под знака логарифма:

$ \log_3 (|x|^2) = 2 \log_3 |x| $

Таким образом, левая часть тождественно равна правой для всех значений $ x $ из области допустимых значений. Следовательно, равенство верно для всех $ x \neq 0 $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ (или $ x \neq 0 $).

3. Приведите пример конкретных значений $b$ и $c$, когда равенство $\lg bc = \lg b + \lg c$ является верным, и пример, когда это равенство не является верным.

Пример, когда равенство является верным

Равенство $ \lg(bc) = \lg b + \lg c $ является одним из основных свойств логарифмов, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Это свойство справедливо, когда все входящие в него выражения определены.

Функция десятичного логарифма $ \lg x $ определена только для положительных значений аргумента, то есть при $ x > 0 $.

Для того чтобы правая часть равенства, $ \lg b + \lg c $, была определена, необходимо, чтобы оба аргумента были положительными: $ b > 0 $ и $ c > 0 $.

Если это условие выполнено, то их произведение $ bc $ также будет положительным, а значит, левая часть $ \lg(bc) $ тоже будет определена. Таким образом, для любых положительных $ b $ и $ c $ равенство будет верным.

Возьмем в качестве примера $ b = 100 $ и $ c = 1000 $.

Подставим эти значения в равенство и проверим его истинность:

Левая часть: $ \lg(bc) = \lg(100 \cdot 1000) = \lg(100000) = 5 $.

Правая часть: $ \lg b + \lg c = \lg 100 + \lg 1000 = 2 + 3 = 5 $.

Поскольку левая и правая части равны ($ 5 = 5 $), равенство является верным.

Ответ: $ b = 100, c = 1000 $.

Пример, когда это равенство не является верным

Равенство не будет верным, если области определения его левой и правой частей не совпадают. Рассмотрим случай, когда левая часть определена, а правая — нет.

Левая часть $ \lg(bc) $ определена, когда ее аргумент положителен, то есть $ bc > 0 $. Это возможно в двух случаях:
1) $ b > 0 $ и $ c > 0 $ (оба числа положительные).
2) $ b < 0 $ и $ c < 0 $ (оба числа отрицательные).

Правая часть $ \lg b + \lg c $ определена только в первом случае, когда $ b > 0 $ и $ c > 0 $.

Следовательно, если мы выберем второй случай, где $ b $ и $ c $ оба отрицательны, левая часть будет иметь значение, а правая — нет. В такой ситуации равенство не может быть верным.

Возьмем в качестве примера $ b = -10 $ и $ c = -10 $.

Подставим эти значения:

Левая часть: $ \lg(bc) = \lg((-10) \cdot (-10)) = \lg(100) = 2 $. Левая часть определена и равна 2.

Правая часть: $ \lg b + \lg c = \lg(-10) + \lg(-10) $. Так как логарифм от отрицательного числа не определен в области действительных чисел, то правая часть равенства не имеет смысла.

Поскольку определенное значение (2) не может равняться неопределенному выражению, равенство не является верным для данных значений.

Ответ: $ b = -10, c = -10 $.

4. Что называют характеристикой десятичного логарифма числа $b$? Найдите характеристику числа:

a) $\lg 155$;

б) $\lg 2013$;

в) $\lg 0,02$.

Десятичный логарифм числа $b$ (обозначается как $\lg b$) — это логарифм по основанию 10. Любое положительное число $b$ можно представить в стандартном виде: $b = a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, которое называется порядком числа.

Прологарифмировав это равенство по основанию 10, получим: $\lg b = \lg(a \cdot 10^n) = \lg a + \lg 10^n = n + \lg a$.

Так как $1 \le a < 10$, то $0 \le \lg a < 1$.

Таким образом, десятичный логарифм любого положительного числа $b$ можно представить в виде суммы целого числа $n$ и неотрицательной правильной дроби $\lg a$.

Характеристикой десятичного логарифма числа $b$ называют целую часть этого логарифма, то есть число $n$. Характеристика логарифма равна порядку числа, записанного в стандартном виде. Другими словами, характеристика $\lg b$ — это $\lfloor \lg b \rfloor$.

а) lg 155; Чтобы найти характеристику десятичного логарифма числа 155, определим, между какими степенями числа 10 оно находится.
$100 < 155 < 1000$
$10^2 < 155 < 10^3$
Прологарифмируем это двойное неравенство по основанию 10:
$\lg 10^2 < \lg 155 < \lg 10^3$
$2 < \lg 155 < 3$
Целая часть логарифма $\lg 155$ равна 2. Это и есть характеристика.
Для чисел больше 1, характеристика логарифма на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа. Число 155 содержит 3 цифры, значит, характеристика равна $3 - 1 = 2$.
Ответ: 2

б) lg 2013; Аналогично найдем характеристику для числа 2013.
$1000 < 2013 < 10000$
$10^3 < 2013 < 10^4$
Прологарифмируем по основанию 10:
$\lg 10^3 < \lg 2013 < \lg 10^4$
$3 < \lg 2013 < 4$
Целая часть логарифма $\lg 2013$ равна 3.
Число 2013 содержит 4 цифры, значит, характеристика равна $4 - 1 = 3$.
Ответ: 3

в) lg 0,02. Для чисел, меньших 1, найдем, между какими отрицательными степенями числа 10 оно находится.
$0,01 < 0,02 < 0,1$
$10^{-2} < 0,02 < 10^{-1}$
Прологарифмируем по основанию 10:
$\lg 10^{-2} < \lg 0,02 < \lg 10^{-1}$
$-2 < \lg 0,02 < -1$
Целая часть (пол) числа, находящегося между -2 и -1, равна -2. Например, $\lg 0,02 \approx -1.699$, и $\lfloor-1.699\rfloor = -2$. Таким образом, характеристика равна -2.
Для положительных чисел меньше 1, характеристика логарифма равна числу нулей после запятой до первой значащей цифры, взятому со знаком минус и увеличенному на единицу. В числе 0,02 один нуль после запятой, значит, характеристика равна $-(1 + 1) = -2$.
Ответ: -2

5. Что называют мантиссой десятичного логарифма числа $b$?

Приведите пример трёх чисел (отличный от примера на с. 126) с одинаковой мантиссой их десятичного логарифма.

Что называют мантиссой десятичного логарифма числа b?

Десятичный логарифм (обозначается как $lg(b)$) любого положительного числа $b$ можно представить в виде суммы целого числа и неотрицательной правильной дроби. Эта неотрицательная дробная часть и называется мантиссой десятичного логарифма. Целая часть называется характеристикой.

Таким образом, десятичный логарифм числа $b$ можно записать в виде: $lg(b) = p + m$

где $p$ — характеристика логарифма, являющаяся целым числом ($p \in \mathbb{Z}$). Она находится как целая часть от логарифма: $p = \lfloor lg(b) \rfloor$.

А $m$ — мантисса логарифма, которая должна удовлетворять неравенству $0 \le m < 1$.

Мантиссу можно вычислить по формуле $m = lg(b) - p = lg(b) - \lfloor lg(b) \rfloor$. Важно отметить, что мантисса по определению всегда неотрицательна. Например, если $lg(b) \approx -2.35$, то его можно представить как $-3 + 0.65$. Здесь характеристика $p = -3$, а мантисса $m = 0.65$.

Ответ: Мантиссой десятичного логарифма числа $b$ называют его неотрицательную дробную часть $m$ ($0 \le m < 1$), получаемую при представлении логарифма в виде суммы целого числа (характеристики) и этой дробной части.

Приведите пример трёх чисел (отличный от примера на с. 126) с одинаковой мантиссой их десятичного логарифма.

Мантисса десятичного логарифма определяется последовательностью значащих цифр в числе и не зависит от положения десятичной запятой. Это означает, что числа, которые отличаются друг от друга в $10^k$ раз, где $k$ — любое целое число, будут иметь одинаковую мантиссу.

Рассмотрим в качестве примера три числа: 7.85, 785 и 0.0785.

1. Для числа 7.85:
Запишем его в стандартном виде: $7.85 \cdot 10^0$.
$lg(7.85) = lg(7.85 \cdot 10^0) = lg(7.85) + lg(10^0) = lg(7.85) + 0$.
Характеристика $p = 0$, а мантисса $m = lg(7.85) \approx 0.8949$.

2. Для числа 785:
Запишем его в стандартном виде: $7.85 \cdot 10^2$.
$lg(785) = lg(7.85 \cdot 10^2) = lg(7.85) + lg(10^2) = lg(7.85) + 2$.
Характеристика $p = 2$, а мантисса та же: $m = lg(7.85) \approx 0.8949$.

3. Для числа 0.0785:
Запишем его в стандартном виде: $7.85 \cdot 10^{-2}$.
$lg(0.0785) = lg(7.85 \cdot 10^{-2}) = lg(7.85) + lg(10^{-2}) = lg(7.85) - 2$.
$lg(0.0785) \approx 0.8949 - 2 = -1.1051$. Чтобы выделить неотрицательную мантиссу, представим это число как: $-2 + 0.8949$.
Характеристика $p = -2$, а мантисса снова та же: $m = lg(7.85) \approx 0.8949$.

Таким образом, у всех трех чисел мантисса их десятичного логарифма одинакова и равна $lg(7.85)$.

Ответ: 7.85; 785; 0.0785.

6. Запишите формулу перехода к новому основанию логарифма. Покажите, как её применить, если $log_3 5$ нужно выразить через логарифмы по основанию 2.

Запишите формулу перехода к новому основанию логарифма.

Формула перехода для логарифма числа $b$ по основанию $a$ к новому основанию $c$ выглядит следующим образом:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Эта формула верна при условиях, что $a, b, c$ — положительные числа, и при этом $a \ne 1$ и $c \ne 1$.

Ответ: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Покажите, как её применить, если $\log_3 5$ нужно выразить через логарифмы по основанию 2.

Чтобы выразить $\log_3 5$ через логарифмы с основанием 2, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. В данном выражении исходное основание $a=3$, а число под знаком логарифма $b=5$. Новое основание, к которому нам нужно перейти, это $c=2$.

Подставим эти значения ($a=3, b=5, c=2$) в общую формулу $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}$

Это и есть искомое выражение, которое представляет $\log_3 5$ через логарифмы по основанию 2.

Ответ: $\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}$

Найдите неопределённый интеграл:

20.43. а) $\int (2 - 9x)^6 dx;$

б) $\int \frac{dx}{3 - 5x};$

в) $\int (7 + 5x)^{13} dx;$

г) $\int e^{0,5x + 2} dx.$

а) Найдем интеграл $\int (2 - 9x)^6 dx$.

Это интеграл от степенной функции, где в основании находится линейная функция. Для его решения удобно применить метод замены переменной (метод подстановки).

Введем новую переменную $t = 2 - 9x$.

Далее найдем дифференциал от обеих частей: $dt = d(2 - 9x)$. Производная $(2 - 9x)'$ равна $-9$, поэтому $dt = -9 dx$.

Из этого выражения выразим $dx$: $dx = -\frac{1}{9} dt$.

Теперь подставим $t$ и $dx$ в наш исходный интеграл:

$\int (2 - 9x)^6 dx = \int t^6 \left(-\frac{1}{9} dt\right)$.

Вынесем постоянный множитель $-\frac{1}{9}$ за знак интеграла:

$-\frac{1}{9} \int t^6 dt$.

Теперь мы можем применить табличную формулу интегрирования степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$-\frac{1}{9} \cdot \frac{t^{6+1}}{6+1} + C = -\frac{1}{9} \cdot \frac{t^7}{7} + C = -\frac{t^7}{63} + C$.

Последний шаг — вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 2 - 9x$:

$-\frac{(2 - 9x)^7}{63} + C$.

Ответ: $-\frac{(2 - 9x)^7}{63} + C$.

б) Найдем интеграл $\int \frac{dx}{3 - 5x}$.

Этот интеграл также решается методом замены переменной.

Пусть $t = 3 - 5x$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = (3 - 5x)' dx = -5 dx$.

Выразим отсюда $dx$: $dx = -\frac{1}{5} dt$.

Подставим полученные выражения в интеграл:

$\int \frac{dx}{3 - 5x} = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{1}{5} dt\right) = -\frac{1}{5} \int \frac{dt}{t}$.

Теперь воспользуемся табличным интегралом $\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C$:

$-\frac{1}{5} \ln|t| + C$.

Выполним обратную замену $t = 3 - 5x$, чтобы получить ответ в терминах переменной $x$:

$-\frac{1}{5} \ln|3 - 5x| + C$.

Ответ: $-\frac{1}{5} \ln|3 - 5x| + C$.

в) Найдем интеграл $\int (7 + 5x)^{13} dx$.

Задача аналогична пункту а). Используем метод замены переменной.

Пусть $t = 7 + 5x$.

Тогда дифференциал $dt = (7 + 5x)' dx = 5 dx$.

Отсюда следует, что $dx = \frac{1}{5} dt$.

Подставим эти выражения в исходный интеграл:

$\int (7 + 5x)^{13} dx = \int t^{13} \left(\frac{1}{5} dt\right) = \frac{1}{5} \int t^{13} dt$.

Применим формулу для интеграла от степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{t^{13+1}}{13+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{14}}{14} + C = \frac{t^{14}}{70} + C$.

Выполним обратную замену, подставив $t = 7 + 5x$:

$\frac{(7 + 5x)^{14}}{70} + C$.

Ответ: $\frac{(7 + 5x)^{14}}{70} + C$.

г) Найдем интеграл $\int e^{0.5x + 2} dx$.

Здесь мы имеем дело с интегралом от показательной функции со сложным аргументом. Применим метод замены переменной.

Пусть $t = 0.5x + 2$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = (0.5x + 2)' dx = 0.5 dx = \frac{1}{2} dx$.

Отсюда выразим $dx$: $dx = 2 dt$.

Подставим $t$ и $dx$ в интеграл:

$\int e^{0.5x + 2} dx = \int e^t (2 dt) = 2 \int e^t dt$.

Воспользуемся табличным интегралом от экспоненты $\int e^t dt = e^t + C$:

$2 e^t + C$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ с помощью обратной замены $t = 0.5x + 2$:

$2e^{0.5x + 2} + C$.

Ответ: $2e^{0.5x + 2} + C$.

20.44. а) $\int (\operatorname{tg}^2 x + 1) dx;$

Б) $\int (\operatorname{ctg}^2 x + 1) dx;$

б) $\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx;$

Г) $\int \sin x \cos x dx.$

а) Для нахождения неопределенного интеграла $\int (\text{tg}^2 x + 1) dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Заменив подынтегральное выражение, получим:
$\int (\text{tg}^2 x + 1) dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$
Интеграл от $\frac{1}{\cos^2 x}$ является табличным. Производная от $\text{tg} x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$, следовательно, первообразная для $\frac{1}{\cos^2 x}$ есть $\text{tg} x$.
Таким образом, решение интеграла:
$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \text{tg} x + C$, где $C$ — константа интегрирования.
Ответ: $\text{tg} x + C$

б) Для нахождения неопределенного интеграла $\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Подставим это тождество в подынтегральное выражение:
$\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \int \cos(2x) dx$
Для вычисления этого интеграла используем метод подстановки (замены переменной). Пусть $u = 2x$, тогда дифференциал $du = 2 dx$, и, следовательно, $dx = \frac{du}{2}$.
$\int \cos(2x) dx = \int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) du$
Интеграл от $\cos(u)$ равен $\sin(u)$.
$\frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + C$
Теперь выполним обратную замену, подставив $u = 2x$:
$\frac{1}{2} \sin(2x) + C$.
Ответ: $\frac{1}{2} \sin(2x) + C$

в) Для нахождения неопределенного интеграла $\int (\text{ctg}^2 x + 1) dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим котангенс и синус: $1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Заменив подынтегральное выражение, получим:
$\int (\text{ctg}^2 x + 1) dx = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$
Интеграл от $\frac{1}{\sin^2 x}$ является табличным. Производная от $-\text{ctg} x$ равна $\frac{1}{\sin^2 x}$, следовательно, первообразная для $\frac{1}{\sin^2 x}$ есть $-\text{ctg} x$.
Таким образом, решение интеграла:
$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\text{ctg} x + C$, где $C$ — константа интегрирования.
Ответ: $-\text{ctg} x + C$

г) Для нахождения неопределенного интеграла $\int \sin x \cos x dx$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
Подставим это выражение в наш интеграл:
$\int \sin x \cos x dx = \int \frac{1}{2} \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx$
Как и в пункте б), используем метод замены переменной. Пусть $u = 2x$, тогда $du = 2 dx$, и $dx = \frac{du}{2}$.
$\frac{1}{2} \int \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \int \sin(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int \sin(u) du$
Интеграл от $\sin(u)$ равен $-\cos(u)$.
$\frac{1}{4} \int \sin(u) du = -\frac{1}{4} \cos(u) + C$
Выполним обратную замену $u = 2x$:
$-\frac{1}{4} \cos(2x) + C$.
Ответ: $-\frac{1}{4} \cos(2x) + C$

20.45. a) $\int \sin 2x \sin 6x dx;$

б) $\int \sin 4x \cos 3x dx;$

В) $\int \cos 3x \cos 5x dx;$

г) $\int \sin 2x \cos 8x dx.$

а) $\int \sin 2x \sin 6x dx$

Для вычисления этого интеграла используется тригонометрическая формула преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

В данном случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 6x$. Применим формулу к подынтегральному выражению:

$\sin 2x \sin 6x = \frac{1}{2}(\cos(2x - 6x) - \cos(2x + 6x)) = \frac{1}{2}(\cos(-4x) - \cos(8x))$

Поскольку функция косинус является четной, то $\cos(-4x) = \cos(4x)$. Таким образом, выражение упрощается до:

$\frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 8x)$

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение:

$\int \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 8x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 4x - \cos 8x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \cos 4x dx - \int \cos 8x dx \right)$

Используя формулу для интеграла от косинуса $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}\sin 4x - \frac{1}{8}\sin 8x \right) + C = \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{16}\sin 8x + C$

Ответ: $\frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{16}\sin 8x + C$

б) $\int \sin 4x \cos 3x dx$

Для решения этого интеграла применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

Здесь $\alpha = 4x$ и $\beta = 3x$. Подставляем в формулу:

$\sin 4x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(4x + 3x) + \sin(4x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin x)$

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 7x + \sin x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin 7x dx + \int \sin x dx \right)$

Используя формулу для интеграла от синуса $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, находим:

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{7}\cos 7x - \cos x \right) + C = -\frac{1}{14}\cos 7x - \frac{1}{2}\cos x + C$

Ответ: $-\frac{1}{14}\cos 7x - \frac{1}{2}\cos x + C$

в) $\int \cos 3x \cos 5x dx$

Для этого интеграла используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = 5x$. Чтобы избежать отрицательного аргумента, можно поменять их местами, так как умножение коммутативно. Пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$:

$\cos 5x \cos 3x = \frac{1}{2}(\cos(5x - 3x) + \cos(5x + 3x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 8x)$

Интегрируем это выражение:

$\int \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 8x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 2x + \cos 8x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \cos 2x dx + \int \cos 8x dx \right)$

Применяем формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{8}\sin 8x \right) + C = \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{16}\sin 8x + C$

Ответ: $\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{16}\sin 8x + C$

г) $\int \sin 2x \cos 8x dx$

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

Здесь $\alpha = 2x$ и $\beta = 8x$. Подставляем значения:

$\sin 2x \cos 8x = \frac{1}{2}(\sin(2x + 8x) + \sin(2x - 8x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin(-6x))$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-6x) = -\sin(6x)$. Получаем:

$\frac{1}{2}(\sin 10x - \sin 6x)$

Теперь интегрируем:

$\int \frac{1}{2}(\sin 10x - \sin 6x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 10x - \sin 6x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin 10x dx - \int \sin 6x dx \right)$

Используя формулу $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, находим результат:

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{10}\cos 10x - \left(-\frac{1}{6}\cos 6x\right) \right) + C = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{10}\cos 10x + \frac{1}{6}\cos 6x \right) + C = \frac{1}{12}\cos 6x - \frac{1}{20}\cos 10x + C$

Ответ: $\frac{1}{12}\cos 6x - \frac{1}{20}\cos 10x + C$

20.46. a) $ \int \sin^2 x dx; $

б) $ \int \sin^4 x dx; $

В) $ \int \cos^2 x dx; $

Г) $ \int \cos^4 x dx. $

а) Для нахождения интеграла от $sin^2 x$ используется тригонометрическая формула понижения степени: $sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Подставим это выражение в исходный интеграл:
$\int sin^2 x \,dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \,dx$
Интеграл от разности равен разности интегралов:
$\frac{1}{2} \left( \int 1 \,dx - \int \cos(2x) \,dx \right)$
Находим каждый интеграл:
$\int 1 \,dx = x$
$\int \cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$
Подставляем обратно и добавляем константу интегрирования C:
$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$
Ответ: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

б) Для вычисления интеграла от $sin^4 x$ представим подынтегральную функцию как $(sin^2 x)^2$ и воспользуемся формулой понижения степени.
$sin^4 x = (sin^2 x)^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$
Для члена $\cos^2(2x)$ снова применим формулу понижения степени, $cos^2(y) = \frac{1 + \cos(2y)}{2}$, где $y=2x$:
$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$
Подставим это в наше выражение:
$sin^4 x = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x))$
Теперь интегрируем полученное выражение:
$\int \frac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \,dx = \frac{1}{8} \left( \int 3 \,dx - 4\int \cos(2x) \,dx + \int \cos(4x) \,dx \right)$
$= \frac{1}{8} \left( 3x - 4 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(4x) \right) + C = \frac{3x}{8} - \frac{4\sin(2x)}{16} + \frac{\sin(4x)}{32} + C$
Упростим коэффициенты:
$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$
Ответ: $\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$.

в) Для интеграла от $cos^2 x$ используется формула понижения степени для косинуса: $cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
Подставляем в интеграл:
$\int cos^2 x \,dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \,dx$
Интегрируем почленно:
$\frac{1}{2} \left( \int 1 \,dx + \int \cos(2x) \,dx \right) = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C$
Раскрываем скобки и получаем результат:
$\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$
Ответ: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

г) Интеграл от $cos^4 x$ решается аналогично интегралу от $sin^4 x$. Представим $cos^4 x$ как $(cos^2 x)^2$.
$cos^4 x = (cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$
Снова применяем формулу понижения степени для $\cos^2(2x)$:
$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$
Подставляем это в выражение:
$cos^4 x = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{8}(3 + 4\cos(2x) + \cos(4x))$
Теперь интегрируем:
$\int \frac{1}{8}(3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)) \,dx = \frac{1}{8} \left( \int 3 \,dx + 4\int \cos(2x) \,dx + \int \cos(4x) \,dx \right)$
$= \frac{1}{8} \left( 3x + 4 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(4x) \right) + C = \frac{3x}{8} + \frac{4\sin(2x)}{16} + \frac{\sin(4x)}{32} + C$
Упрощаем и получаем окончательный ответ:
$\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$
Ответ: $\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$.

20.47. a) $ \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x} $;

б) $ \int \frac{\cos 2x dx}{\sin^2 x \cos^2 x} $.

а)

Для решения интеграла $\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Представим числитель подынтегральной функции в виде этого тождества:

$\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x} = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$

Разделим подынтегральное выражение на два слагаемых:

$\int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx$

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

Это табличные интегралы:

$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C_1$

$\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C_2$

Складывая результаты и объединяя константы интегрирования ($C = C_1 + C_2$), получаем:

$\tan x - \cot x + C$

Ответ: $\tan x - \cot x + C$.

б)

Для решения интеграла $\int \frac{\cos 2x \, dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в числитель:

$\int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$

Разделим дробь на две, как и в предыдущем пункте:

$\int \left( \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx$

Интеграл разности равен разности интегралов:

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Используя те же табличные интегралы, что и в пункте а), получаем:

$(-\cot x) - (\tan x) + C = -\cot x - \tan x + C$

Ответ: $-\cot x - \tan x + C$.

Вычислите определённый интеграл:

21.1. а) $\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3 dx;$

б) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2};$

в) $\int_{-1}^{2} x^4 dx;$

г) $\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}}.$

а) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = x^3$ находится по формуле для степенной функции: $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.
Теперь подставим пределы интегрирования:
$\int_{-2/3}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-2/3}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(-2/3)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{16/81}{4} = \frac{1}{4} - \frac{16}{324}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $324$:
$\frac{81}{324} - \frac{16}{324} = \frac{81 - 16}{324} = \frac{65}{324}$.
Ответ: $\frac{65}{324}$.

б) Сначала представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
Найдем первообразную для $f(x) = x^{-2}$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = \left. \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Найдем первообразную для функции $f(x) = x^4$: $F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{2} x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$.
Ответ: $\frac{33}{5}$.

г) Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.
Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/2}$: $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \left. (2\sqrt{x}) \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$.
Ответ: $2$.

21.2. a) $\int_{1}^{2} \left( \frac{3}{x^2} + x^2 + 2 \right) dx;$

Б) $\int_{0}^{1} \left( \frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{3}{(x+1)^2} \right) dx;$

В) $\int_{-2}^{-1} \left( -\frac{5}{x^2} + x^4 - 3x \right) dx;$

Г) $\int_{5}^{8} \left( \frac{2}{(x-2)^2} - \frac{1}{\sqrt{x-4}} \right) dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} \left(\frac{3}{x^2} + x^2 + 2\right) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{3}{x^2} + x^2 + 2$. Для удобства представим ее в виде $f(x) = 3x^{-2} + x^2 + 2$.

Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int (3x^{-2} + x^2 + 2) dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2x = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^3}{3} + 2x = -\frac{3}{x} + \frac{x^3}{3} + 2x$.

2. Вычислим значения первообразной на концах отрезка интегрирования.

При $x=2$:
$F(2) = -\frac{3}{2} + \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 = -\frac{3}{2} + \frac{8}{3} + 4$. Приводим к общему знаменателю 6: $F(2) = -\frac{9}{6} + \frac{16}{6} + \frac{24}{6} = \frac{-9+16+24}{6} = \frac{31}{6}$.

При $x=1$:
$F(1) = -\frac{3}{1} + \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 = -3 + \frac{1}{3} + 2 = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$.

3. Найдем значение интеграла как разность значений первообразной.

$\int_{1}^{2} \left(\frac{3}{x^2} + x^2 + 2\right) dx = F(2) - F(1) = \frac{31}{6} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{31}{6} + \frac{2}{3} = \frac{31}{6} + \frac{4}{6} = \frac{35}{6}$.

Ответ: $\frac{35}{6}$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} \left(\frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{3}{(x+1)^2}\right) dx$.

1. Перепишем подынтегральную функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 2(x+1)^{-1/2} - 3(x+1)^{-2}$.

2. Найдем первообразную $F(x)$, используя правило $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$.

$F(x) = \int (2(x+1)^{-1/2} - 3(x+1)^{-2}) dx = 2 \cdot \frac{(x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} - 3 \cdot \frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} = 2 \cdot \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} - 3 \cdot \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = 4\sqrt{x+1} + \frac{3}{x+1}$.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

При $x=1$:
$F(1) = 4\sqrt{1+1} + \frac{3}{1+1} = 4\sqrt{2} + \frac{3}{2}$.

При $x=0$:
$F(0) = 4\sqrt{0+1} + \frac{3}{0+1} = 4\sqrt{1} + 3 = 4 + 3 = 7$.

4. Вычислим значение интеграла.

$\int_{0}^{1} \left(\frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{3}{(x+1)^2}\right) dx = F(1) - F(0) = \left(4\sqrt{2} + \frac{3}{2}\right) - 7 = 4\sqrt{2} + \frac{3}{2} - \frac{14}{2} = 4\sqrt{2} - \frac{11}{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2} - \frac{11}{2}$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x^2} + x^4 - 3x\right) dx$.

1. Найдем первообразную для $f(x) = -5x^{-2} + x^4 - 3x$.

$F(x) = \int (-5x^{-2} + x^4 - 3x) dx = -5 \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^5}{5} - 3 \frac{x^2}{2} = \frac{5}{x} + \frac{x^5}{5} - \frac{3x^2}{2}$.

2. Вычислим значения первообразной на концах отрезка интегрирования.

При $x=-1$:
$F(-1) = \frac{5}{-1} + \frac{(-1)^5}{5} - \frac{3(-1)^2}{2} = -5 - \frac{1}{5} - \frac{3}{2} = -\frac{50}{10} - \frac{2}{10} - \frac{15}{10} = -\frac{67}{10}$.

При $x=-2$:
$F(-2) = \frac{5}{-2} + \frac{(-2)^5}{5} - \frac{3(-2)^2}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{32}{5} - \frac{12}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{32}{5} - 6 = -\frac{25}{10} - \frac{64}{10} - \frac{60}{10} = -\frac{149}{10}$.

3. Найдем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

$\int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x^2} + x^4 - 3x\right) dx = F(-1) - F(-2) = \left(-\frac{67}{10}\right) - \left(-\frac{149}{10}\right) = \frac{-67 + 149}{10} = \frac{82}{10} = \frac{41}{5}$.

Ответ: $\frac{41}{5}$.

г)

Вычислим интеграл $\int_{5}^{8} \left(\frac{2}{(x-2)^2} - \frac{1}{\sqrt{x-4}}\right) dx$.

1. Перепишем подынтегральную функцию в виде: $f(x) = 2(x-2)^{-2} - (x-4)^{-1/2}$.

2. Найдем первообразную $F(x)$.

$F(x) = \int (2(x-2)^{-2} - (x-4)^{-1/2}) dx = 2 \cdot \frac{(x-2)^{-2+1}}{-2+1} - \frac{(x-4)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 2 \cdot \frac{(x-2)^{-1}}{-1} - \frac{(x-4)^{1/2}}{1/2} = -\frac{2}{x-2} - 2\sqrt{x-4}$.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

При $x=8$:
$F(8) = -\frac{2}{8-2} - 2\sqrt{8-4} = -\frac{2}{6} - 2\sqrt{4} = -\frac{1}{3} - 2 \cdot 2 = -\frac{1}{3} - 4 = -\frac{1}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{13}{3}$.

При $x=5$:
$F(5) = -\frac{2}{5-2} - 2\sqrt{5-4} = -\frac{2}{3} - 2\sqrt{1} = -\frac{2}{3} - 2 = -\frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{8}{3}$.

4. Вычислим значение интеграла.

$\int_{5}^{8} \left(\frac{2}{(x-2)^2} - \frac{1}{\sqrt{x-4}}\right) dx = F(8) - F(5) = \left(-\frac{13}{3}\right) - \left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{13}{3} + \frac{8}{3} = \frac{-13+8}{3} = -\frac{5}{3}$.

Ответ: $-\frac{5}{3}$.

21.3. a) $\int_{-1}^{1} \frac{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27}{2x + 3} dx;$

б) $\int_{0}^{1} \frac{x^4 - 18x^2 + 81}{x^2 - 6x + 9} dx;$

В) $\int_{0}^{2} \frac{x^3 - 27}{x^2 + 3x + 9} dx;$

Г) $\int_{1}^{2} \frac{x^3 - 64}{x^2 + 4x + 16} dx.$

a) $\int_{-1}^{1} \frac{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27}{2x + 3} dx$

Сначала упростим подынтегральное выражение. Заметим, что числитель представляет собой куб суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$. Проверим:

$(2x+3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3 = 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 6x \cdot 9 + 27 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$.

Таким образом, подынтегральное выражение можно упростить:

$\frac{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27}{2x + 3} = \frac{(2x+3)^3}{2x+3} = (2x+3)^2$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{-1}^{1} (2x+3)^2 dx = \int_{-1}^{1} (4x^2 + 12x + 9) dx$.

Найдем первообразную подынтегральной функции:

$\int (4x^2 + 12x + 9) dx = 4\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} + 9x = \frac{4}{3}x^3 + 6x^2 + 9x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ \frac{4}{3}x^3 + 6x^2 + 9x \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{4}{3}(1)^3 + 6(1)^2 + 9(1)\right) - \left(\frac{4}{3}(-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1)\right)$

$= \left(\frac{4}{3} + 6 + 9\right) - \left(-\frac{4}{3} + 6 - 9\right) = \left(15 + \frac{4}{3}\right) - \left(-3 - \frac{4}{3}\right) = 15 + \frac{4}{3} + 3 + \frac{4}{3} = 18 + \frac{8}{3} = \frac{54+8}{3} = \frac{62}{3}$.

Ответ: $\frac{62}{3}$.

б) $\int_{0}^{1} \frac{x^4 - 18x^2 + 81}{x^2 - 6x + 9} dx$

Упростим подынтегральное выражение. Знаменатель является полным квадратом:

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Числитель также является полным квадратом, если рассматривать его как квадратный трехчлен относительно $x^2$:

$x^4 - 18x^2 + 81 = (x^2 - 9)^2$.

Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, разложим выражение $x^2-9$:

$(x^2 - 9)^2 = ((x-3)(x+3))^2 = (x-3)^2(x+3)^2$.

Тогда подынтегральная функция примет вид:

$\frac{(x-3)^2(x+3)^2}{(x-3)^2} = (x+3)^2$.

Сокращение возможно, так как $x-3 \neq 0$ на интервале интегрирования $[0, 1]$.

Вычислим интеграл:

$\int_{0}^{1} (x+3)^2 dx = \int_{0}^{1} (x^2 + 6x + 9) dx$.

Первообразная равна:

$\int (x^2 + 6x + 9) dx = \frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} + 9x = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} + 3(1)^2 + 9(1)\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 3(0)^2 + 9(0)\right) = \frac{1}{3} + 3 + 9 = 12 + \frac{1}{3} = \frac{37}{3}$.

Ответ: $\frac{37}{3}$.

в) $\int_{0}^{2} \frac{x^3 - 27}{x^2 + 3x + 9} dx$

Упростим подынтегральное выражение. Числитель является разностью кубов. Воспользуемся формулой $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.

Тогда подынтегральное выражение равно:

$\frac{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}{x^2 + 3x + 9} = x-3$.

Сокращение правомерно, так как знаменатель $x^2 + 3x + 9$ не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$ (дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0$).

Вычислим интеграл:

$\int_{0}^{2} (x-3) dx$.

Найдем первообразную:

$\int (x-3) dx = \frac{x^2}{2} - 3x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{0}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} - 3(2)\right) - \left(\frac{0^2}{2} - 3(0)\right) = \left(\frac{4}{2} - 6\right) - 0 = 2 - 6 = -4$.

Ответ: $-4$.

г) $\int_{1}^{2} \frac{x^3 - 64}{x^2 + 4x + 16} dx$

Упростим подынтегральное выражение, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ для числителя.

$x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2) = (x-4)(x^2 + 4x + 16)$.

Тогда подынтегральное выражение равно:

$\frac{(x-4)(x^2 + 4x + 16)}{x^2 + 4x + 16} = x-4$.

Знаменатель $x^2 + 4x + 16$ не имеет действительных корней (дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$), поэтому он никогда не равен нулю.

Вычислим интеграл:

$\int_{1}^{2} (x-4) dx$.

Найдем первообразную:

$\int (x-4) dx = \frac{x^2}{2} - 4x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ \frac{x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} - 4(2)\right) - \left(\frac{1^2}{2} - 4(1)\right) = \left(\frac{4}{2} - 8\right) - \left(\frac{1}{2} - 4\right)$

$= (2 - 8) - \left(\frac{1}{2} - \frac{8}{2}\right) = -6 - \left(-\frac{7}{2}\right) = -6 + \frac{7}{2} = -\frac{12}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$.

Ответ: $-\frac{5}{2}$.

21.4. a) $\int_{1}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x-1}}$;

б) $\int_{-2}^{1/3} \frac{2dx}{\sqrt{10-3x}}$.

a) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x - 1}} $ воспользуемся методом замены переменной.
Пусть $ t = 2x - 1 $. Тогда найдем дифференциал $ dt $: $ dt = (2x - 1)' dx = 2dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{2} $.
Теперь необходимо найти новые пределы интегрирования для переменной $ t $.
Если $ x = 1 $ (нижний предел), то $ t = 2(1) - 1 = 1 $.
Если $ x = 5 $ (верхний предел), то $ t = 2(5) - 1 = 9 $.
Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:
$ \int_{1}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x - 1}} = \int_{1}^{9} \frac{\frac{dt}{2}}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} t^{-\frac{1}{2}} dt $.
Теперь вычислим полученный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для $ f(x) $.
Первообразная для $ t^{-\frac{1}{2}} $ равна $ \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{t} $.
$ \frac{1}{2} \int_{1}^{9} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot [2\sqrt{t}]_{1}^{9} = [\sqrt{t}]_{1}^{9} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $.
Ответ: 2

б) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{-2}^{\frac{1}{3}} \frac{2dx}{\sqrt{10 - 3x}} $ также используем метод замены переменной.
Пусть $ t = 10 - 3x $. Тогда найдем дифференциал $ dt $: $ dt = (10 - 3x)' dx = -3dx $, откуда $ dx = -\frac{dt}{3} $.
Найдем новые пределы интегрирования для переменной $ t $.
Если $ x = -2 $ (нижний предел), то $ t = 10 - 3(-2) = 10 + 6 = 16 $.
Если $ x = \frac{1}{3} $ (верхний предел), то $ t = 10 - 3(\frac{1}{3}) = 10 - 1 = 9 $.
Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:
$ \int_{-2}^{\frac{1}{3}} \frac{2dx}{\sqrt{10 - 3x}} = \int_{16}^{9} \frac{2(-\frac{dt}{3})}{\sqrt{t}} = -\frac{2}{3} \int_{16}^{9} \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{2}{3} \int_{16}^{9} t^{-\frac{1}{2}} dt $.
Воспользуемся свойством определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $, чтобы поменять пределы интегрирования местами:
$ -\frac{2}{3} \int_{16}^{9} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{2}{3} \int_{9}^{16} t^{-\frac{1}{2}} dt $.
Теперь вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Первообразная для $ t^{-\frac{1}{2}} $ равна $ 2\sqrt{t} $.
$ \frac{2}{3} \int_{9}^{16} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{2}{3} \cdot [2\sqrt{t}]_{9}^{16} = \frac{4}{3} [\sqrt{t}]_{9}^{16} = \frac{4}{3} (\sqrt{16} - \sqrt{9}) = \frac{4}{3} (4 - 3) = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} $.
Ответ: $ \frac{4}{3} $