Номер 21.3, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.3, страница 131.

21.3. a) $\int_{-1}^{1} \frac{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27}{2x + 3} dx;$

б) $\int_{0}^{1} \frac{x^4 - 18x^2 + 81}{x^2 - 6x + 9} dx;$

В) $\int_{0}^{2} \frac{x^3 - 27}{x^2 + 3x + 9} dx;$

Г) $\int_{1}^{2} \frac{x^3 - 64}{x^2 + 4x + 16} dx.$

a) $\int_{-1}^{1} \frac{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27}{2x + 3} dx$

Сначала упростим подынтегральное выражение. Заметим, что числитель представляет собой куб суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$. Проверим:

$(2x+3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3 = 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 6x \cdot 9 + 27 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$.

Таким образом, подынтегральное выражение можно упростить:

$\frac{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27}{2x + 3} = \frac{(2x+3)^3}{2x+3} = (2x+3)^2$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{-1}^{1} (2x+3)^2 dx = \int_{-1}^{1} (4x^2 + 12x + 9) dx$.

Найдем первообразную подынтегральной функции:

$\int (4x^2 + 12x + 9) dx = 4\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} + 9x = \frac{4}{3}x^3 + 6x^2 + 9x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ \frac{4}{3}x^3 + 6x^2 + 9x \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{4}{3}(1)^3 + 6(1)^2 + 9(1)\right) - \left(\frac{4}{3}(-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1)\right)$

$= \left(\frac{4}{3} + 6 + 9\right) - \left(-\frac{4}{3} + 6 - 9\right) = \left(15 + \frac{4}{3}\right) - \left(-3 - \frac{4}{3}\right) = 15 + \frac{4}{3} + 3 + \frac{4}{3} = 18 + \frac{8}{3} = \frac{54+8}{3} = \frac{62}{3}$.

Ответ: $\frac{62}{3}$.

б) $\int_{0}^{1} \frac{x^4 - 18x^2 + 81}{x^2 - 6x + 9} dx$

Упростим подынтегральное выражение. Знаменатель является полным квадратом:

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Числитель также является полным квадратом, если рассматривать его как квадратный трехчлен относительно $x^2$:

$x^4 - 18x^2 + 81 = (x^2 - 9)^2$.

Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, разложим выражение $x^2-9$:

$(x^2 - 9)^2 = ((x-3)(x+3))^2 = (x-3)^2(x+3)^2$.

Тогда подынтегральная функция примет вид:

$\frac{(x-3)^2(x+3)^2}{(x-3)^2} = (x+3)^2$.

Сокращение возможно, так как $x-3 \neq 0$ на интервале интегрирования $[0, 1]$.

Вычислим интеграл:

$\int_{0}^{1} (x+3)^2 dx = \int_{0}^{1} (x^2 + 6x + 9) dx$.

Первообразная равна:

$\int (x^2 + 6x + 9) dx = \frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} + 9x = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} + 3(1)^2 + 9(1)\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 3(0)^2 + 9(0)\right) = \frac{1}{3} + 3 + 9 = 12 + \frac{1}{3} = \frac{37}{3}$.

Ответ: $\frac{37}{3}$.

в) $\int_{0}^{2} \frac{x^3 - 27}{x^2 + 3x + 9} dx$

Упростим подынтегральное выражение. Числитель является разностью кубов. Воспользуемся формулой $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.

Тогда подынтегральное выражение равно:

$\frac{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}{x^2 + 3x + 9} = x-3$.

Сокращение правомерно, так как знаменатель $x^2 + 3x + 9$ не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$ (дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0$).

Вычислим интеграл:

$\int_{0}^{2} (x-3) dx$.

Найдем первообразную:

$\int (x-3) dx = \frac{x^2}{2} - 3x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{0}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} - 3(2)\right) - \left(\frac{0^2}{2} - 3(0)\right) = \left(\frac{4}{2} - 6\right) - 0 = 2 - 6 = -4$.

Ответ: $-4$.

г) $\int_{1}^{2} \frac{x^3 - 64}{x^2 + 4x + 16} dx$

Упростим подынтегральное выражение, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ для числителя.

$x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2) = (x-4)(x^2 + 4x + 16)$.

Тогда подынтегральное выражение равно:

$\frac{(x-4)(x^2 + 4x + 16)}{x^2 + 4x + 16} = x-4$.

Знаменатель $x^2 + 4x + 16$ не имеет действительных корней (дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$), поэтому он никогда не равен нулю.

Вычислим интеграл:

$\int_{1}^{2} (x-4) dx$.

Найдем первообразную:

$\int (x-4) dx = \frac{x^2}{2} - 4x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ \frac{x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} - 4(2)\right) - \left(\frac{1^2}{2} - 4(1)\right) = \left(\frac{4}{2} - 8\right) - \left(\frac{1}{2} - 4\right)$

$= (2 - 8) - \left(\frac{1}{2} - \frac{8}{2}\right) = -6 - \left(-\frac{7}{2}\right) = -6 + \frac{7}{2} = -\frac{12}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$.

Ответ: $-\frac{5}{2}$.