Номер 21.8, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.8, страница 132.

21.8. a) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \,dx;$

Б) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right)} \,dx;$

В) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2 \sin \frac{x}{3} \,dx;$

Г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{7}{\cos^2 3x} \,dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(2x)$. Первообразная для $\cos(u)$ равна $\sin(u)$. Так как у нас аргумент $2x$, то первообразная будет $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

2. Подставим пределы интегрирования в первообразную:

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \,dx = \left. \frac{1}{2}\sin(2x) \right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4}))$

3. Вычислим значения:

$\frac{1}{2}\sin(\pi) - \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot (-1) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})} \,dx$.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{5}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})}$. Первообразная для $\frac{1}{\sin^2(u)}$ равна $-\cot(u)$. В нашем случае $u = x + \frac{\pi}{3}$, и $du=dx$.

Следовательно, первообразная $F(x) = -5\cot(x + \frac{\pi}{3})$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})} \,dx = \left. -5\cot(x + \frac{\pi}{3}) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -5\cot(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - (-5\cot(0 + \frac{\pi}{3}))$

3. Вычислим значения:

$-5\cot(\frac{2\pi}{3}) + 5\cot(\frac{\pi}{3}) = -5(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 5(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$

в)

Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2\sin\frac{x}{3} \,dx$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\sin\frac{x}{3}$. Первообразная для $\sin(u)$ равна $-\cos(u)$. В нашем случае $u = \frac{x}{3}$, поэтому при интегрировании появится множитель $3$.

Первообразная $F(x) = 2 \cdot 3 \cdot (-\cos\frac{x}{3}) = -6\cos\frac{x}{3}$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2\sin\frac{x}{3} \,dx = \left. -6\cos\frac{x}{3} \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -6\cos(\frac{\pi}{3}) - (-6\cos(\frac{\pi/2}{3})) = -6\cos(\frac{\pi}{3}) + 6\cos(\frac{\pi}{6})$

3. Вычислим значения:

$-6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -3 + 3\sqrt{3} = 3(\sqrt{3} - 1)$.

Ответ: $3(\sqrt{3} - 1)$

г)

Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{7}{\cos^2 3x} \,dx$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{7}{\cos^2 3x}$. Первообразная для $\frac{1}{\cos^2(u)}$ равна $\tan(u)$. В нашем случае $u = 3x$, поэтому при интегрировании появится множитель $\frac{1}{3}$.

Первообразная $F(x) = 7 \cdot \frac{1}{3} \tan(3x) = \frac{7}{3}\tan(3x)$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{7}{\cos^2 3x} \,dx = \left. \frac{7}{3}\tan(3x) \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{7}{3}\tan(3 \cdot \frac{\pi}{3}) - \frac{7}{3}\tan(3 \cdot \frac{\pi}{4})$

3. Вычислим значения:

$\frac{7}{3}\tan(\pi) - \frac{7}{3}\tan(\frac{3\pi}{4}) = \frac{7}{3} \cdot 0 - \frac{7}{3} \cdot (-1) = 0 + \frac{7}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$